Considere o produto direto G1 times G2 dos grupos G1 e G2. Sejam H1 triang<=<=ft G1 e H2 triang<=<=ft G2. Mostre que H1 times H2 triang<=<=ft G1 times G2.

Passo 1

A questão pede para mostrarmos que, dados dois grupos G1 e G2 e subgrupos normais H1 triang<=<=ft G1 e H2 triang<=<=ft G2, o produto direto H1 times H2 é normal em G1 times G2. Vamos usar o conceito de subgrupo normal e a definição de produto direto de grupos.

Passo 2

Lembrando que um subgrupo H subseteq G é normal (escrevemos H triang<=<=ft G) se, para todo g in G e h in H, o elemento ghg^-1 pertence a H. Também recordamos que, em G1 times G2, a operação é feita coordenada a coordenada:
Para mostrar normalidade, pegamos um elemento genérico (g1,g2) in G1 times G2 e (h1,h2) in H1 times H2 e calculamos a conjugação:
(g1,g2)(h1,h2)(g1,g2)^-1 = (g1 h1 g1^-1,, g2 h2 g2^-1)

Passo 3

Como H1 triang<=<=ft G1, temos g1 h1 g1^-1 in H1, e como H2 triang<=<=ft G2, temos g2 h2 g2^-1 in H2. Logo,
o par (g1 h1 g1^-1, g2 h2 g2^-1) está em H1 times H2. Portanto, H1 times H2 é normal em G1 times G2.

Resposta

H1 times H2 triang<=<=ft G1 times G2.

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