Considere o produto direto
dos grupos
e
. Sejam
e
. Mostre que
.
Passo 1
A questão pede para mostrarmos que, dados dois grupos
e
e subgrupos normais
e
, o produto direto
é normal em
. Vamos usar o conceito de subgrupo normal e a definição de produto direto de grupos.
Passo 2
Lembrando que um subgrupo
é normal (escrevemos
) se, para todo
e
, o elemento
pertence a
. Também recordamos que, em
, a operação é feita coordenada a coordenada:
Para mostrar normalidade, pegamos um elemento genérico e
e calculamos a conjugação:
Para mostrar normalidade, pegamos um elemento genérico
Passo 3
Como
, temos
, e como
, temos
. Logo,
o par está em
. Portanto,
é normal em
.
o par