Exercício 52:
Seja a:=1,2,3,4,5,6. Sejam dadas as seguintes partiçõesde a :
pi1:=1,2,3,4,5,6, pi2:=1,2,3,4,5,6 e pi3:=1,2,3,4,5,6.
No reticulado (Pi(a), <=) determine pii wed>= pij forall i, j in1,2,3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, no reticulado de partições de um conjunto, o ‘meet’ (maior limite inferior) de cada par (\pi_i,\pi_j). O conteúdo usado é que, nesse reticulado, o pii wed>= pij é a partição cujos blocos são todas as interseções não vazias entre blocos de pii e blocos de pij.

Passo 2

Para calcular pi1 wed>= pi2, listamos os blocos de pi1=1,2,3,4,5,6 e de pi2=1,2,3,4,5,6 e fazemos todas as interseções não vazias:
1,2cap1,2,3=1,2
3,4,5cap1,2,3=3
3,4,5cap4=4
3,4,5cap5,6=5
6cap5,6=6
Logo, pi1 wed>= pi2=1,2,3,4,5,6.

Passo 3

Para pi1 wed>= pi3, com pi3=1,2,3,4,5,6, as interseções não vazias são:
1,2cap1,2=1,2
3,4,5cap3=3
3,4,5cap4,5,6=4,5
6cap4,5,6=6
Assim, pi1 wed>= pi3=1,2,3,4,5,6.

Passo 4

Para pi2 wed>= pi3, repetimos com blocos de pi2 e pi3:
1,2,3cap1,2=1,2
1,2,3cap3=3
4cap4,5,6=4
5,6cap4,5,6=5,6
Logo, pi2 wed>= pi3=1,2,3,4,5,6.

Passo 5

Como wed>= é comutativo e idempotente, temos também piiwed>=pij=pijwed>=pii e piiwed>=pii=pii.

Resposta

Para todo i, piiwed>=pii=pii. Além disso:
  • pi1wed>=pi2=1,2,3,4,5,6;
  • pi1wed>=pi3=1,2,3,4,5,6;
  • pi2wed>=pi3=1,2,3,4,5,6.

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