Determine todos os subgrupos de Z20.

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os subgrupos de Z20. O conteúdo envolve teoria de grupos cíclicos: sabemos que todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico e que existe exatamente um subgrupo de cada ordem que divide a ordem do grupo.

Passo 2

Os divisores de 20 são 1,2,4,5,10,20. Portanto, os únicos possíveis tamanhos de subgrupos de Z20 são esses valores.

Passo 3

Para cada divisor d de 20, existe exatamente um subgrupo de ordem d, gerado pelo elemento tfrac20d em Z20. Em notação de classes:
$$
\langle [\tfrac{20}{d}] \rangle = {,k\cdot [\tfrac{20}{d}] : k=0,1,\dots,d-1}.$$

Passo 4

Agora vamos listar cada subgrupo explicando a geração e seus elementos:
• Ordem 1 ( d=1): 20/1=20equiv0 em Z20, então
lang<= [0] rang<= = [0]
• Ordem 2 ( d=2): 20/2=10, então
lang<= [10] rang<= = [0],[10]
• Ordem 4 ( d=4): 20/4=5, então
lang<= [5] rang<= = [0],[5],[10],[15]
• Ordem 5 ( d=5): 20/5=4, então
lang<= [4] rang<= = [0],[4],[8],[12],[16]
• Ordem 10 ( d=10): 20/10=2, então
lang<= [2] rang<= = [0],[2],[4],[6],[8],[10],[12],[14],[16],[18]
• Ordem 20 ( d=20): 20/20=1, então
lang<= [1] rang<= = Z20

Resposta

Os subgrupos de Z20 são:
[0], [0],[10], [0],[5],[10],[15], [0],[4],[8],[12],[16], [0],[2],[4],[6],[8],[10],[12],[14],[16],[18], Z20

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