Determine todos os subgrupos de
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar todos os subgrupos de
. O conteúdo envolve teoria de grupos cíclicos: sabemos que todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico e que existe exatamente um subgrupo de cada ordem que divide a ordem do grupo.
Passo 2
Os divisores de 20 são
. Portanto, os únicos possíveis tamanhos de subgrupos de
são esses valores.
Passo 3
Para cada divisor
de 20, existe exatamente um subgrupo de ordem
, gerado pelo elemento
em
. Em notação de classes:
$$
\langle [\tfrac{20}{d}] \rangle = {,k\cdot [\tfrac{20}{d}] : k=0,1,\dots,d-1}.$$
Passo 4
Agora vamos listar cada subgrupo explicando a geração e seus elementos:
• Ordem 1 (
):
em
, então
• Ordem 2 (
):
, então
• Ordem 4 (
):
, então
• Ordem 5 (
):
, então
• Ordem 10 (
):
, então
• Ordem 20 (
):
, então
Resposta
Os subgrupos de
são: