Considere o produto direto
dos grupos
e
. Sejam
e
elementos de ordens
e
respectivamente. Determine a ordem de
.
Passo 1
O exercício está no contexto de Teoria dos Grupos, especificamente no produto direto
. Precisamos determinar a ordem do elemento
, sabendo que
tem ordem
em
e
tem ordem
em
.
Passo 2
Por definição, a ordem de
é o menor inteiro positivo
tal que
, onde
e
são os elementos neutros de
e
respectivamente.
No produto direto, temos a propriedade . Para que
, é necessário e suficiente que
e
.
No produto direto, temos a propriedade
Passo 3
Como a ordem de
é
,
se e somente se
divide
. De modo análogo, como a ordem de
é
,
se e somente se
divide
.
Passo 4
Logo, o menor
que satisfaz ambas as divisibilidades é o mínimo múltiplo comum de
e
, ou seja,
.