Considere o produto direto G1 times G2 dos grupos G1 e G2. Sejam a in G1 e b in G2 elementos de ordens m e n respectivamente. Determine a ordem de (a, b) in G1 times G2.

Passo 1

O exercício está no contexto de Teoria dos Grupos, especificamente no produto direto G1 times G2. Precisamos determinar a ordem do elemento (a,b), sabendo que a tem ordem m em G1 e b tem ordem n em G2.

Passo 2

Por definição, a ordem de (a,b) é o menor inteiro positivo k tal que (a,b)^k = (e1,e2), onde e1 e e2 são os elementos neutros de G1 e G2 respectivamente.
No produto direto, temos a propriedade (a,b)^k = (a^k, b^k). Para que (a^k,b^k)=(e1,e2), é necessário e suficiente que a^k=e1 e b^k=e2.

Passo 3

Como a ordem de a é m, a^k=e1 se e somente se m divide k. De modo análogo, como a ordem de b é n, b^k=e2 se e somente se n divide k.

Passo 4

Logo, o menor k>0 que satisfaz ambas as divisibilidades é o mínimo múltiplo comum de m e n, ou seja, k=lcm(m,n).

Resposta

lcm(m,n)

Exercícios relacionados