Seja
representa a rotação de
radianos,
o grupo das rotações de um polígono regular de 20 lados. Determine todos os subgrupos de
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar todos os subgrupos de G = {R_i | R_i é a rotação de 2πi/20 radianos, i = 0,…,19}, que é justamente o grupo cíclico de ordem 20 gerado por R = R_1.
Sabendo que G é cíclico de ordem 20, usamos o teorema: todo subgrupo de um grupo cíclico de ordem n é único para cada divisor de n e tem ordem igual a esse divisor.
Sabendo que G é cíclico de ordem 20, usamos o teorema: todo subgrupo de um grupo cíclico de ordem n é único para cada divisor de n e tem ordem igual a esse divisor.
Passo 2
Listamos os divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Para cada divisor d de 20 existe um único subgrupo de G de ordem d, dado por ⟨R^(20/d)⟩, pois R^(20/d) tem ordem d.
Para cada divisor d de 20 existe um único subgrupo de G de ordem d, dado por ⟨R^(20/d)⟩, pois R^(20/d) tem ordem d.
Passo 3
Portanto, os subgrupos são:
• Para d = 1: ⟨R^(20)⟩ = {R_0}
• Para d = 2: ⟨R^(10)⟩ = {R_0, R_10}
• Para d = 4: ⟨R^(5)⟩ = {R_0, R_5, R_10, R_15}
• Para d = 5: ⟨R^(4)⟩ = {R_0, R_4, R_8, R_12, R_16}
• Para d = 10: ⟨R^(2)⟩ = {R_0, R_2, R_4, R_6, R_8, R_10, R_12, R_14, R_16, R_18}
• Para d = 20: ⟨R^(1)⟩ = G
• Para d = 1: ⟨R^(20)⟩ = {R_0}
• Para d = 2: ⟨R^(10)⟩ = {R_0, R_10}
• Para d = 4: ⟨R^(5)⟩ = {R_0, R_5, R_10, R_15}
• Para d = 5: ⟨R^(4)⟩ = {R_0, R_4, R_8, R_12, R_16}
• Para d = 10: ⟨R^(2)⟩ = {R_0, R_2, R_4, R_6, R_8, R_10, R_12, R_14, R_16, R_18}
• Para d = 20: ⟨R^(1)⟩ = G
Resposta
Os subgrupos de G são exatamente ⟨R^(20)⟩, ⟨R^(10)⟩, ⟨R^(5)⟩, ⟨R^(4)⟩, ⟨R^(2)⟩ e ⟨R^(1)⟩, ou seja:
{R_0}; {R_0,R_10}; {R_0,R_5,R_10,R_15}; {R_0,R_4,R_8,R_12,R_16}; {R_0,R_2,R_4,R_6,R_8,R_10,R_12,R_14,R_16,R_18}; G.
{R_0}; {R_0,R_10}; {R_0,R_5,R_10,R_15}; {R_0,R_4,R_8,R_12,R_16}; {R_0,R_2,R_4,R_6,R_8,R_10,R_12,R_14,R_16,R_18}; G.