Considere o produto escalar entre duas funções f(x) e g(x) definido por
\langle f \mid g\rangle=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{*}(x) g(x) d x
Calcule para: onde n \neq 0.
f(x)=\cos (n x), g(x)=\cos (n x)

Passo 1

O enunciado dá o produto escalar
\langle f\mid g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^{*}(x)\,g(x)\,dx
e pede para calcular esse produto escalar quando f(x)=\cos(nx) e g(x)=\cos(nx) com n\neq 0.
Informações importantes fornecidas:
  • f(x)=\cos(nx).
  • g(x)=\cos(nx).
  • n é inteiro diferente de zero (isso implica periodicidade inteira em relação a 2\pi).
  • A integração é no intervalo [-\pi,\pi].
    O que se pede:
  • Calcular \langle \cos(nx)\mid \cos(nx)\rangle para n\neq 0.

Passo 2

Observação sobre conjugado: como \cos(nx) é função real, o conjugado complexo satisfaz
\cos^{*}(nx)=\cos(nx).
Portanto o integrando é \cos(nx)\cos(nx)=\cos^{2}(nx). Logo o produto escalar vira
\langle \cos(nx)\mid \cos(nx)\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}(nx)\,dx.

Passo 3

Usar a identidade trigonométrica que simplifica \cos^{2}. Ela vem de \cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1, isolando \cos^{2}\theta:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Aplicando com \theta=nx obtemos
\cos^{2}(nx)=\frac{1+\cos(2nx)}{2}.
Substituindo na integral:
\langle \cos(nx)\mid \cos(nx)\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1+\cos(2nx)}{2}\,dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(1+\cos(2nx)\bigr)\,dx.

Passo 4

Separar a integral em duas partes e calcular cada uma:
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx=\frac{1}{2\pi}\cdot(2\pi)=\frac{2\pi}{2\pi}=1.
Agora a parte com cosseno:
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2nx)\,dx.
Uma primitiva de \cos(2nx) é \dfrac{1}{2n}\sin(2nx). Avaliando de -\pi a \pi:
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2nx)\,dx=\left.\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right|_{-\pi}^{\pi}=\frac{1}{2n}\bigl(\sin(2n\pi)-\sin(-2n\pi)\bigr).
Como n é inteiro, \sin(2n\pi)=0 e também \sin(-2n\pi)=0. Logo essa integral é zero, e portanto a contribuição inteira da parte \cos(2nx) é zero.

Passo 5

Somando as partes obtidas:
  • parte constante deu 1,
  • parte \cos(2nx) deu 0.
Portanto
\langle \cos(nx)\mid \cos(nx)\rangle=1.
Comentário rápido e útil para a prova: isso mostra que as funções \cos(nx) (com n\neq 0) têm norma unitária com esse produto escalar — por isso aparecem normalizadas em séries de Fourier. (Como curiosidade: para n=0 a função \cos(0x)=1 teria \langle1\mid1\rangle=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx=2, por isso a constante precisa de um fator de normalização diferente.)

Resposta

\langle \cos(nx)\mid \cos(nx)\rangle = 1

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