Como n é inteiro, \sin(2n\pi)=0 e também \sin(-2n\pi)=0. Logo essa integral é zero, e portanto a contribuição inteira da parte \cos(2nx) é zero.
Passo 5
Somando as partes obtidas:
parte constante deu 1,
parte \cos(2nx) deu 0.
Portanto
\langle \cos(nx)\mid \cos(nx)\rangle=1.
Comentário rápido e útil para a prova: isso mostra que as funções \cos(nx) (com n\neq 0) têm norma unitária com esse produto escalar — por isso aparecem normalizadas em séries de Fourier. (Como curiosidade: para n=0 a função \cos(0x)=1 teria \langle1\mid1\rangle=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx=2, por isso a constante precisa de um fator de normalização diferente.)