Ache a solução da equação do calor:
100 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial u}{\partial t}, \quad 0<x<1, t>0
sob condições de contorno:
\begin{gathered} u(0, t)=0, \quad u(1, t)=0, t>0 \\\ u(x, 0)=\sin (2 \pi x)-2 \sin (5 \pi x), 0 \leq x \leq 1 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá uma equação do calor e pede a solução u(x,t) para 0<x<1,\\ t>0. Dados e condições:
  • Equação diferencial parcial:
100 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial u}{\partial t},\qquad 0<x<1,\\ t>0.
  • Condições de contorno (Dirichlet homogeneous):
u(0,t)=0,\qquad u(1,t)=0,\qquad t>0.
  • Condição inicial:
u(x,0)=\sin(2\pi x)-2\sin(5\pi x),\qquad 0\le x\le1.
Pergunta: encontrar explicitamente u(x,t) que satisfaça a PDE, os contornos e a condição inicial.

Passo 2

Escolhemos o método de separação de variáveis (vou explicar o raciocínio): supomos que a solução pode ser escrita como produto de uma função só de x e outra só de t,
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na PDE:
100 X''(x)T(t)=X(x)T'(t).
Dividindo por X(x)T(t) (assumindo X,T\neq0):
100\frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{T'(t)}{T(t)}.
O lado esquerdo depende só de x e o direito só de t, logo ambos devem ser iguais a uma constante comum (chamamos de -\lambda). Assim obtemos duas ODEs:
\frac{T'(t)}{T(t)}=-100\lambda,\qquad \frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda.
Isto é,
T'(t)=-100\lambda\,T(t)
e
X''(x)+\lambda X(x)=0,
com as condições X(0)=0,\\ X(1)=0 (porque u(0,t)=X(0)T(t)=0 para todo t, e o mesmo em x=1).

Passo 3

Analisando o problema de autovalores para X:
X''+\lambda X=0,\qquad X(0)=0,\\ X(1)=0.
  • Se \lambda<0 as soluções são exponenciais e não há solução não-trivial que zere em 0 e 1 simultaneamente (exceto a trivial).
  • Se \lambda=0 então X''=0 e X(x)=Ax+B; com X(0)=0 e X(1)=0 segue A=B=0 — só solução trivial.
  • Para \lambda>0 escrevemos \lambda=\mu^2 e as soluções são combinações de seno e cosseno. As condições de contorno forçam \cos(0) e \sin etc., e obtém-se autovalores e autovetores não-triviais.
Os autovalores e autovetores são
\lambda_n=(n\pi)^2,\qquad X_n(x)=\sin(n\pi x),\qquad n=1,2,3,\dots
Explicando rapidamente: \sin(n\pi x) satisfaz X_n(0)=0 e X_n(1)=\sin(n\pi)=0, e substituindo em X''+\lambda X=0 \lambda=(n\pi)^2.

Passo 4

Resolver a equação temporal associada a cada modo n:
T_n'(t)=-100\lambda_n T_n(t)=-100(n\pi)^2 T_n(t).
A solução é exponencial:
T_n(t)=C_n e^{-100(n\pi)^2 t}.
Pela linearidade da PDE, a superposição de modos é solução. Assim a solução geral (série de Fourier em senos) é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n e^{-100(n\pi)^2 t}\sin(n\pi x),
onde os coeficientes b_n são determinados pela condição inicial u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(n\pi x).

Passo 5

Agora precisamos encontrar os coeficientes b_n a partir de u(x,0)=f(x) com
f(x)=\sin(2\pi x)-2\sin(5\pi x).
Para séries de senos em [0,1] a fórmula dos coeficientes (por ortogonalidade) é
b_n=2\int_0^1 f(x)\sin(n\pi x)\,dx.
Explico a ortogonalidade de modo prático: para inteiros positivos m\neq n,
\int_0^1 \sin(m\pi x)\sin(n\pi x)\,dx=0,
e
\int_0^1 \sin^2(n\pi x)\,dx=\tfrac12.
Então, aplicando à nossa f(x):
b_n=2\int_0^1 \big(\sin(2\pi x)-2\sin(5\pi x)\big)\sin(n\pi x)\,dx.
Pela ortogonalidade, as integrais cruzadas são zero salvo quando n=2 ou n=5. Calculando os casos relevantes:
  • Para n=2:
b_2=2\int_0^1 \sin(2\pi x)\sin(2\pi x)\,dx =2\cdot \tfrac12 =1.
(O termo com \sin(5\pi x) é ortogonal e some.)
  • Para n=5:
b_5=2\int_0^1 \big(\sin(2\pi x)-2\sin(5\pi x)\big)\sin(5\pi x)\,dx =2\Big(0 -2\int_0^1\sin^2(5\pi x)\,dx\Big) =2\cdot(-2)\cdot\tfrac12=-2.
  • Para todo n\neq2,5 tem-se b_n=0.
Portanto a expansão de Fourier de f já está explícita: f(x)=1\cdot\sin(2\pi x)+(-2)\cdot\sin(5\pi x).

Passo 6

Substituindo os coeficientes na série solução, apenas os modos n=2 e n=5 aparecem:
u(x,t)=b_2 e^{-100(2\pi)^2 t}\sin(2\pi x)+b_5 e^{-100(5\pi)^2 t}\sin(5\pi x).
Com b_2=1 e b_5=-2 e simplificando (2\pi)^2=4\pi^2, (5\pi)^2=25\pi^2, obtemos
u(x,t)=e^{-100\cdot 4\pi^2 t}\sin(2\pi x)-2\,e^{-100\cdot 25\pi^2 t}\sin(5\pi x).
Isto é,
u(x,t)=e^{-400\pi^2 t}\sin(2\pi x)-2e^{-2500\pi^2 t}\sin(5\pi x).
Observação final (útil para prova): cada modo decai exponencialmente no tempo com taxa proporcional a (n\pi)^2. Como n=5 tem maior n^2, o termo com \sin(5\pi x) decai bem mais rápido que o com \sin(2\pi x). À medida que t\to\infty, u\to0 (temperatura tende a zero por causa dos contornos homogêneos).

Resposta

u(x,t)=e^{-400\pi^{2} t}\sin(2\pi x)-2e^{-2500\pi^{2} t}\sin(5\pi x).

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