Ache a solução da equação do calor:
sob condições de contorno:
Passo 1
O enunciado dá uma equação do calor e pede a solução
para
. Dados e condições:
- Equação diferencial parcial:
- Condições de contorno (Dirichlet homogeneous):
- Condição inicial:
Pergunta: encontrar explicitamente
que satisfaça a PDE, os contornos e a condição inicial.
Passo 2
Escolhemos o método de separação de variáveis (vou explicar o raciocínio): supomos que a solução pode ser escrita como produto de uma função só de
e outra só de
,
Substituindo na PDE:
Dividindo por
(assumindo
):
O lado esquerdo depende só de
e o direito só de
, logo ambos devem ser iguais a uma constante comum (chamamos de
). Assim obtemos duas ODEs:
Isto é,
e
com as condições
(porque
para todo
, e o mesmo em
).
Passo 3
Analisando o problema de autovalores para
:
- Se
as soluções são exponenciais e não há solução não-trivial que zere em e simultaneamente (exceto a trivial). - Se
então e ; com e segue — só solução trivial. - Para
escrevemos e as soluções são combinações de seno e cosseno. As condições de contorno forçam e etc., e obtém-se autovalores e autovetores não-triviais.
Os autovalores e autovetores são
Explicando rapidamente:
satisfaz
e
, e substituindo em
dá
.
Passo 4
Resolver a equação temporal associada a cada modo
:
A solução é exponencial:
Pela linearidade da PDE, a superposição de modos é solução. Assim a solução geral (série de Fourier em senos) é
onde os coeficientes
são determinados pela condição inicial
.
Passo 5
Agora precisamos encontrar os coeficientes
a partir de
com
Para séries de senos em
a fórmula dos coeficientes (por ortogonalidade) é
Explico a ortogonalidade de modo prático: para inteiros positivos
,
e
Então, aplicando à nossa
:
Pela ortogonalidade, as integrais cruzadas são zero salvo quando
ou
. Calculando os casos relevantes:
- Para
:
(O termo com
é ortogonal e some.)
- Para
:
- Para todo
tem-se .
Portanto a expansão de Fourier de
já está explícita:
.
Passo 6
Substituindo os coeficientes na série solução, apenas os modos
e
aparecem:
Com
e
e simplificando
,
, obtemos
Isto é,
Observação final (útil para prova): cada modo decai exponencialmente no tempo com taxa proporcional a
. Como
tem maior
, o termo com
decai bem mais rápido que o com
. À medida que
,
(temperatura tende a zero por causa dos contornos homogêneos).