Seja A uma matriz simétrica de ordem n com entradas em R. Sejam X, Y in V=Mn times 1(C). Defina o produto interno sobre V por:
lang<= X, Yrang<==Y^t X
Mostre que lang<= A X, Yrang<==lang<= X, A Yrang<=.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz real simétrica Ain Mntimes n(R) e vetores X,Yin C^n, o operador A é auto-adjunto em relação ao produto interno
lang<= X,Yrang<= = Y^t,X
Ou seja, devemos provar que
lang<= A X, Yrang<= = lang<= X, A Yrang<=

Passo 2

Começamos calculando diretamente o lado esquerdo:
lang<= A X, Yrang<= = Y^t,(A X)
Como a multiplicação de matrizes é associativa, podemos agrupar:
lang<= A X, Yrang<= = l(Y^tAr),X

Passo 3

Agora usamos duas propriedades cruciais:
  1. A tem entradas reais, logo A=A.
  2. A é simétrica, portanto A^t = A.
Com isso,
Y^tA = Y^t,(A^t) = (A,Y)^t,
pois Y^tA = (A^tY)^t e A^t=A.

Passo 4

Substituindo no passo anterior, obtemos
lang<= A X, Yrang<= = (A,Y)^t,X = lang<= X, A Yrang<=,
que é exatamente o que queríamos.

Resposta

Portanto, para toda matriz real simétrica A e quaisquer vetores X,YinC^n, vale
lang<= A X, Yrang<= = lang<= X, A Yrang<=

Exercícios relacionados