Seja A uma matriz simétrica de ordem com entradas em . Sejam . Defina o produto interno sobre por:
Mostre que lang<= A X, Yrang<==lang<= X, A Yrang<=.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz real simétrica Ain Mntimes n(R) e vetores X,Yin C^n, o operador A é auto-adjunto em relação ao produto interno
lang<= X,Yrang<= = Y^t,X
Ou seja, devemos provar que
lang<= A X, Yrang<= = lang<= X, A Yrang<=
Passo 2
Começamos calculando diretamente o lado esquerdo:
lang<= A X, Yrang<= = Y^t,(A X)
Como a multiplicação de matrizes é associativa, podemos agrupar:
lang<= A X, Yrang<= = l(Y^tAr),X
Passo 3
Agora usamos duas propriedades cruciais:
A tem entradas reais, logo A=A.
A é simétrica, portanto A^t = A.
Com isso,
Y^tA = Y^t,(A^t) = (A,Y)^t,
pois Y^tA = (A^tY)^t e A^t=A.
Passo 4
Substituindo no passo anterior, obtemos
lang<= A X, Yrang<= = (A,Y)^t,X = lang<= X, A Yrang<=,
que é exatamente o que queríamos.
Resposta
Portanto, para toda matriz real simétrica A e quaisquer vetores X,YinC^n, vale