Seja . Considere a base canônica de . Considere a transformação linear tal que
Podemos afirmar que
(a) Se lambda in R é autovalor de T, então a multiplicidade geométrica de lambda é sempre estritamente maior que 1 , independentemente do valor de k.
(b) Se lambda in R é autovalor de T, então a multiplicidade geométrica de lambda é sempre igual a 2 , independentemente do valor de k.
(c) T não é diagonalizável para qualquer valor de k in R.
(d) Se k=2, então T é diagonalizável.
(e) Se k=-2, então T é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado nos dá uma transformação linear T em R³ cuja matriz na base canônica é
[T] = 2 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & k
A gente precisa analisar as afirmações sobre autovalores, multiplicidade geométrica e diagonalização de T, variando o parâmetro real k.
Conteúdo que vamos usar:
Como achar autovalores de matriz triangular (são os elementos da diagonal).
Como achar autovetores e a multiplicidade geométrica resolvendo (A-lambda I)x=0.
Critério de diagonalização: T é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica iguala a multiplicidade algébrica.
Passo 2
Primeiro, os autovalores de [T]. A matriz é triangular, então os autovalores são as entradas da diagonal:
lambda1 = 2, lambda2 = 2, lambda3 = k
Isto significa que o autovalor 2 tem multiplicidade algébrica (MA) igual a 2, e k tem MA igual a 1 (exceto no caso especial k=2, aí 2 aparece três vezes).
Passo 3
Agora vamos achar o espaço próprio de . Precisamos resolver
Isso dá o sistema:
(sem informação).
Se , então e daí . Só sobra livre. Logo o espaço próprio tem dimensão 1 (multiplicidade geométrica MG).
Se , aí a equação (3) vira , ou seja, também fica livre. Então ficamos com e livres, dando dimensão 2 (MG).
Passo 4
Para o autovalor lambda = k, só faz sentido quando kneq2 (caso contrário é o mesmo autovalor 2). A gente resolve
O terceiro equação é 0=0, ou seja x3 é livre. Da segunda, (2-k)x2=0. Se kneq2, isso força x2=0. A primeira diz (2-k)x1 + x2=0 e com x2=0 dá x1=0. Sobrou apenas x3 livre, então MG(k)=1.
Passo 5
Critério de diagonalização: T é diagonalizável se, para cada autovalor, MG = MA, e a soma das dimensões dos espaços próprios é 3.
Se kneq2, a MA de 2 é 2 mas MG(2)=1, já falha.
Se k=2, a MA de 2 é 3 mas MG(2)=2, também falha.
Conclusão: para nenhum k a dimensão do espaço de autovetores bate com a multiplicidade algébrica de todos os autovalores.
Resposta
A única afirmação correta é a (c): "T não é diagonalizável para qualquer valor de kinR".