Em R^4, considere o produto definido por
lang<=(u1, u2, u3, u4),(v1, v2, v3, v4)rang<==sumi=1^4 ai ui vi
onde ai, i=1,2,3,4, são constantes reais positivas.
(d) Verifique que (1) define um produto interno.

Passo 1

O enunciado define em R^4 o produto\r
lang<=(u1,u2,u3,u4),(v1,v2,v3,v4)rang<= = sumi=1^4 ai,ui,vi
com ai>0. Para mostrar que isso é um produto interno, precisamos verificar os três axiomas: simetria, bilinearidade no primeiro argumento e positividade definida.

Passo 2

Verificação da simetria. Para quaisquer vetores u=(u1,dots,u4) e v=(v1,dots,v4) temos
lang<= u,vrang<= = sumi=1^4 ai,ui,vi e lang<= v,urang<= = sumi=1^4 ai,vi,ui
Como a multiplicação em R é comutativa, ui,vi=vi,ui, segue imediatamente que
lang<= u,vrang<= = lang<= v,urang<=

Passo 3

Verificação da bilinearidade no primeiro argumento. Dados u,v,winR^4 e escalar cinR:
  1. Soma:
lang<= u+v,wrang<= = sumi=1^4 ai,(ui+vi),wi = sumi=1^4 ai,ui,wi + sumi=1^4 ai,vi,wi = lang<= u,wrang<= + lang<= v,wrang<=
  1. Homogeneidade:
lang<= c,u,vrang<= = sumi=1^4 ai,(c,ui),vi = csumi=1^4 ai,ui,vi = c,lang<= u,vrang<=

Passo 4

Verificação da positividade definida. Para qualquer u=(u1,dots,u4),
lang<= u,urang<= = sumi=1^4 ai,ui^2
Como cada ai>0 e ui^2>=0, segue que lang<= u,urang<=>=0. Além disso, lang<= u,urang<==0 implica ai,ui^2=0 para todo i, o que obriga ui=0 em cada coordenada, ou seja, u=0.

Resposta

O produto definido satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, portanto é um produto interno em R^4.

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