Em
, considere o produto definido por
onde
, são constantes reais positivas.
(d) Verifique que (1) define um produto interno.
(d) Verifique que (1) define um produto interno.
Passo 1
O enunciado define em
o produto\r
com
. Para mostrar que isso é um produto interno, precisamos verificar os três axiomas: simetria, bilinearidade no primeiro argumento e positividade definida.
Passo 2
Verificação da simetria. Para quaisquer vetores
e
temos
Como a multiplicação em
é comutativa,
, segue imediatamente que
Passo 3
Verificação da bilinearidade no primeiro argumento. Dados
e escalar
:
- Soma:
- Homogeneidade:
Passo 4
Verificação da positividade definida. Para qualquer
,
Como cada
e
, segue que
. Além disso,
implica
para todo
, o que obriga
em cada coordenada, ou seja,
.
Resposta
O produto definido satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, portanto é um produto interno em
.