Considere o seguinte conjunto de vetores:
v1=(1,-2,3,-4), v2=(2,1,-4,-3), v3=(-3,4,1,-2) e v4=(4,3,2,1)
(c) Obtenha uma base ortonormal a partir de v1, v2, v3, v4.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores
v1=(1,-2,3,-4),
v2=(2,1,-4,-3),
v3=(-3,4,1,-2) e
v4=(4,3,2,1) em R^4 e pede uma base ortonormal a partir deles.
O procedimento que vamos usar é o processo de Gram–Schmidt para obter vetores mutuamente ortogonais e, em seguida, normalizá-los.

Passo 2

Definimos u1= v1.
O comprimento de u1 é
| u1|=raiz1^2+(-2)^2+3^2+(-4)^2 =raiz1+4+9+16 =raiz30
Logo, o primeiro vetor ortonormal é
e1 = u1| u1| =1raiz30,(1,-2,3,-4)

Passo 3

Para v2, calculamos
u2 = v2-proj e1( v2) = v2-l( v2cdot e1r), e1
Como
v2cdot e1 =1raiz30l(2cdot1+1cdot(-2)+(-4)cdot3+(-3)cdot(-4)r) =0,
vem u2= v2.
O comprimento de u2 também é raiz30, então
e2 = u2| u2| =1raiz30,(2,1,-4,-3)

Passo 4

Para v3, fazemos
u3 = v3 -proj e1( v3) -proj e2( v3)
Calcula-se
v3cdot e1=0 e v3cdot e2=0,
logo u3= v3.
Como | u3|=raiz30,
e3 = u3| u3| =1raiz30;(-3,4,1,-2)

Passo 5

Para v4, subtraímos as projeções sobre e1, e2, e3.
Verifica-se que todos os produtos internos são zero, então u4= v4.
Como | u4|=raiz30,
e4 = u4| u4| =1raiz30,(4,3,2,1)

Resposta

Uma base ortonormal obtida por Gram–Schmidt é
gl1raiz30(1,-2,3,-4),; 1raiz30(2,1,-4,-3),; 1raiz30(-3,4,1,-2),; 1raiz30(4,3,2,1)gr

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