Determine o polinômio característico para a matriz
A=(llll 1 & 0 & 0 & a 0 & 1 & 0 & b 0 & 0 & 1 & c a & b & c & 1 )

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 0 & 0 & a 0 & 1 & 0 & b 0 & 0 & 1 & c a & b & c & 1
e pede o polinómio característico, que por definição é
detl(A - lambda Ir)
Vamos usar o método do bloco ou complemento de Schur, pois podemos ver
A - lambda I = (1-lambda)I3 & v v^T & 1-lambda ,
onde v=(a,b,c)^T.

Passo 2

Recordando que, para uma partição
A & C B & D
com A invertível, vale
detA & C B & D =det(A),detl(D - B,A^-1Cr),
aplicamos com A=(1-lambda)I3, C=v, B=v^T e D=1-lambda.

Passo 3

Calculamos
det(A) = (1-lambda)^3
e o complemento de Schur
D - B,A^-1C =(1-lambda) - v^Tl((1-lambda)I3r)^-1v =(1-lambda) - a^2+b^2+c^21-lambda
Logo
det(A-lambda I) =(1-lambda)^3,l((1-lambda)-a^2+b^2+c^21-lambdar)

Passo 4

Fatorizamos
(1-lambda)-a^2+b^2+c^21-lambda =(1-lambda)^2 - (a^2+b^2+c^2)1-lambda,
de modo que
det(A-lambda I) =(1-lambda)^2,l((1-lambda)^2 - (a^2+b^2+c^2)r)

Resposta

boxeddet(A-lambda I) =(1-lambda)^2l((1-lambda)^2 - l(a^2+b^2+c^2r)r)

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