Considere o produto interno
lang<= A, Brang<==a1 a2+b1 b2+c1 c2+d1 d2
para matrizes 2 times 2
A=[ll a1 & b1 c1 & d1 ] e B=[ll a2 & b2 c2 & d2 ]
e a norma |A|=raizlang<= A, Arang<= (definida para qualquer matriz A de ordem 2 times 2 ). Dadas as matrizes
A=[cc 1 & 2 -1 & 1 ] e B=[ll 0 & 2 1 & 1 ]
determine:
(a) |A|
(b) |B|
© |A+B|
(d) O ângulo theta entre A e B. Recorde que, analogamente ao caso do produto escalar, nesse caso theta=arccos lang<= A, Brang<=|A||B| .

Passo 1

Queremos usar o produto interno definido por lang<= A,Brang<= = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d2 em matrizes 2×2 e a norma |A| = raizlang<= A,Arang<=. Aqui o objetivo é calcular as normas de A e B, a norma de A+B e o ângulo theta entre elas usando theta = arccoslang<= A,Brang<=|A||B|.

Passo 2

Para achar |A|, primeiro computamos lang<= A,Arang<= somando os quadrados dos elementos de A:
lang<= A,Arang<= = 1^2 + 2^2 + (-1)^2 + 1^2 = 1 + 4 + 1 + 1 = 7
Logo,
|A| = raiz7

Passo 3

Para achar |B|, fazemos o mesmo com B:
lang<= B,Brang<= = 0^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2 = 0 + 4 + 1 + 1 = 6
Então,
|B| = raiz6

Passo 4

Agora calculamos A+B e sua norma. Primeiro,
A+B = 1 & 2 -1 & 1 + 0 & 2 1 & 1 = 1 & 4 0 & 2
Em seguida,
lang<= A+B, A+Brang<= = 1^2 + 4^2 + 0^2 + 2^2 = 1 + 16 + 0 + 4 = 21
Portanto,
|A+B| = raiz21

Passo 5

Para encontrar o ângulo theta, precisamos de lang<= A,Brang<=:
lang<= A,Brang<= = 1cdot0 + 2cdot2 + (-1)cdot1 + 1cdot1 = 0 + 4 - 1 + 1 = 4
Então
costheta = lang<= A,Brang<=|A||B| = 4raiz7raiz6 = 4raiz42
e finalmente
theta = arccosl(4raiz42r)

Resposta

(a) |A| = raiz7
(b) |B| = raiz6
© |A+B| = raiz21
(d) theta = arccosl(4/raiz42r)

Exercícios relacionados