A seguir são listados vetores v1, ldots vk in R^n. Determine se eles são l.i. ou l.d. usando o seguinte procedimento: interprete a relação a1 v1+cdots+ak vk=0 como um sistema linear homogêneo com k incógnitas a1, ldots, ak e n equações. Se o sistema for determinado então o conjunto é l.i. caso contrário o conjunto é l.d.
(1,-2,1,0),(2,1,-1,3),(7,-4,1,3) em R^4.

Passo 1

Estamos com o conjunto de vetores em R^4:
v1=(1,-2,1,0), v2=(2,1,-1,3), v3=(7,-4,1,3)
Queremos ver se eles são linearmente independentes usando o sistema homogêneo a1v1+a2v2+a3v3=0.

Passo 2

Escrevendo a1v1+a2v2+a3v3=0 coordenada a coordenada, obtemos o sistema:
a1 + 2a2 + 7a3 = 0, -2a1 + a2 - 4a3 = 0, a1 - a2 + a3 = 0, 3a2 + 3a3 = 0

Passo 3

Construímos a matriz de coeficientes e aplicamos eliminação de Gauss:
[ccc 1 & 2 & 7 -2 & 1 & -4 1 & -1 & 1 0 & 3 & 3 ] to [ccc 1 & 2 & 7 0 & 5 & 10 0 & -3 & -6 0 & 3 & 3 ] to [ccc 1 & 2 & 7 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 0 & 0 & -3 ] to [ccc 1 & 2 & 7 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ]

Passo 4

Há pivôs em todas as três colunas (posto igual a 3) e temos 3 incógnitas. Isso significa que o sistema só admite a solução trivial (a1,a2,a3)=(0,0,0), logo os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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