Considere
o espaço das funções
. Mostre que são L.I. os conjuntos:
, sendo
e $g(x)=\operatorname{senh}(x);
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
e
são linearmente independentes no espaço
. O conteúdo aqui é independência linear: a única combinação linear
(função nula) deve ter
.
Passo 2
Começamos supondo que exista uma combinação linear que zere identicamente:
Isso significa que essa combinação vale zero como função, ou seja, para cada valor de
o resultado é zero.
Passo 3
Para encontrar
e
, avaliamos em pontos convenientes. Primeiro, em
:
Logo,
. Com
, a equação reduz-se a
$$
b\sinh(x)=0 ,\quad \forall x.$$
Basta escolher um para o qual
, por exemplo
. Como
, concluímos que
.
Basta escolher um
Passo 4
Como a única solução para
e
é
, isso prova que
é um conjunto linearmente independente em
.
Resposta
As únicas constantes
tais que
para todo
são
, logo
é L.I.