Considere V=F(R, R) o espaço das funções f: R R. Mostre que são L.I. os conjuntos:
f, g, sendo f(x)=cosh (x) e $g(x)=\operatorname{senh}(x);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções f(x)=cosh(x) e g(x)=sinh(x) são linearmente independentes no espaço V= F( R, R). O conteúdo aqui é independência linear: a única combinação linear a f + b g = 0 (função nula) deve ter a=b=0.

Passo 2

Começamos supondo que exista uma combinação linear que zere identicamente:
acosh(x) + bsinh(x) = 0 , para todo xin R
Isso significa que essa combinação vale zero como função, ou seja, para cada valor de x o resultado é zero.

Passo 3

Para encontrar a e b, avaliamos em pontos convenientes. Primeiro, em x=0:
acosh(0) + bsinh(0) = acdot1 + bcdot0 = a = 0
Logo, a=0. Com a=0, a equação reduz-se a
$$
b\sinh(x)=0 ,\quad \forall x.$$
Basta escolher um bsinh(x)=0 , forall x para o qual x, por exemplo sinh(x)neq0. Como x=1, concluímos que sinh(1)neq0.

Passo 4

Como a única solução para a e b é a=b=0, isso prova que f,g é um conjunto linearmente independente em V.

Resposta

As únicas constantes a,b tais que acosh(x)+bsinh(x)=0 para todo x são a=b=0, logo cosh(x),sinh(x) é L.I.

Exercícios relacionados