Considere V=F(R, R) o espaço das funções f: R R. Mostre que são L.I. os conjuntos:
f, g, sendo f(x)=cos (x) e $g(x)=\operatorname{sen}(x);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções f(x)=cos(x) e g(x)=sin(x) são linearmente independentes no espaço V=F(R,R). O conteúdo aqui é independência linear, e precisaremos da definição que diz que uma combinação linear só é igual à função zero se todos os coeficientes forem zero.

Passo 2

Para testar independência linear, usamos a definição: f e g são LI se, sempre que alpha f+beta g for a função zero, então os coeficientes alpha e beta devem ser nulos.
Começamos assumindo uma combinação linear genérica que seja a função zero. Isto é,
alphacos(x)+betasin(x)=0,forall xinR

Passo 3

Agora avaliamos essa igualdade em pontos convenientes. Em x=0 temos
alpha=0
que implica .

Passo 4

Substituindo alpha=0 na combinação, fica betasin(x)=0 para todo x. Em particular, em x=pi/2
beta=0
logo .

Passo 5

Como os únicos coeficientes que anulam a combinação linear são alpha=0 e beta=0, concluímos que f e g são linearmente independentes.

Resposta

As funções f(x)=cos(x) e g(x)=sin(x) são linearmente independentes.

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