Considere
o espaço das funções
. Mostre que são L.I. os conjuntos:
, sendo
e $g(x)=\operatorname{sen}(x);
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
e
são linearmente independentes no espaço
. O conteúdo aqui é independência linear, e precisaremos da definição que diz que uma combinação linear só é igual à função zero se todos os coeficientes forem zero.
Passo 2
Para testar independência linear, usamos a definição:
e
são LI se, sempre que
for a função zero, então os coeficientes
e
devem ser nulos.
Começamos assumindo uma combinação linear genérica que seja a função zero. Isto é,
Começamos assumindo uma combinação linear genérica que seja a função zero. Isto é,
Passo 3
Agora avaliamos essa igualdade em pontos convenientes. Em
temos
que implica .
que implica
Passo 4
Substituindo
na combinação, fica
para todo
. Em particular, em
logo .
logo
Passo 5
Como os únicos coeficientes que anulam a combinação linear são
e
, concluímos que
e
são linearmente independentes.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes.