Determine uma base ortonormal para o subespaço de R^4 gerado pelos vetores u=(1,0,-1,1), v=(0,1,0,1) e w=(1,1,-1,-2).

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal do subespaço de ℝ⁴ gerado por u=(1,0,–1,1), v=(0,1,0,1) e w=(1,1,–1,–2). Vamos usar o processo de Gram–Schmidt para transformar esses vetores em três vetores ortonormais que geram o mesmo subespaço.

Passo 2

Escolhemos o primeiro vetor a₁=u. Calculamos sua norma:
|a₁|^2=1^2+0^2+(-1)^2+1^2=3, |a₁|=raiz3 Então definimos
e1=a₁|a₁|=1raiz3(1,0,-1,1)

Passo 3

Agora projetamos v sobre a₁ e obtemos a₂=v–proj_{a₁}(v). Primeiro o produto interno:
lang<= v,a₁rang<==0·1+1·0+0·(-1)+1·1=1 Logo
proja₁(v)=13(1,0,-1,1)=(tfrac13,0,-tfrac13,tfrac13) Subtraindo de v temos
a₂=v-proja₁(v)=l(-tfrac13,1,tfrac13,tfrac23r) Multiplicamos por 3 para simplificar: b₂=(-1,3,1,2). A norma de b₂ é
|b₂|^2=1+9+1+4=15, |b₂|=raiz15 Definimos
e2=1raiz15(-1,3,1,2)

Passo 4

Por fim projetamos w sobre a₁ e b₂. Note que ⟨w,a₁⟩=0, ou seja w⊥a₁. Calculamos ⟨w,b₂⟩:
lang<= w,b₂rang<==1·(-1)+1·3+(-1)·1+(-2)·2=-3 Então
projb₂(w)=-315(-1,3,1,2)=l(tfrac15,-tfrac35,-tfrac15,-tfrac25r) Subtraindo de w:
a₃=w-projb₂(w)=l(1,1,-1,-2r)-l(tfrac15,-tfrac35,-tfrac15,-tfrac25r)=l(tfrac45,tfrac85,-tfrac45,-tfrac85r) Fatoramos 4/5 e obtemos b₃=(1,2,-1,-2). Sua norma é √10. Definimos
e3=1raiz10(1,2,-1,-2)

Resposta

Uma base ortonormal do subespaço gerado por u,v,w é
e1=1raiz3(1,0,-1,1), e2=1raiz15(-1,3,1,2), e3=1raiz10(1,2,-1,-2)

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