Determine uma base ortonormal para o subespaço de
gerado pelos vetores
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal do subespaço de ℝ⁴ gerado por u=(1,0,–1,1), v=(0,1,0,1) e w=(1,1,–1,–2). Vamos usar o processo de Gram–Schmidt para transformar esses vetores em três vetores ortonormais que geram o mesmo subespaço.
Passo 2
Escolhemos o primeiro vetor a₁=u. Calculamos sua norma:
Passo 3
Agora projetamos v sobre a₁ e obtemos a₂=v–proj_{a₁}(v). Primeiro o produto interno:
Passo 4
Por fim projetamos w sobre a₁ e b₂. Note que ⟨w,a₁⟩=0, ou seja w⊥a₁. Calculamos ⟨w,b₂⟩:
Resposta
Uma base ortonormal do subespaço gerado por u,v,w é