Considere o seguinte produto interno
lang<= f, grang<==integral0^1 f(t) g(t) d t
definido para funções contínuas f e g no intervalo [0,1], e defina |f|=raizlang<= f, frang<=,|g|=raizlang<= g, grang<=. Calcule lang<= f, grang<=,|f| e |g| para f(x)=x^2-2 x e g(x)=x+3.

Passo 1

O enunciado define em C([0,1]) o produto interno lang<= f,grang<==integral0^1f(t)g(t),dt e pede para calcular lang<= f,grang<=, |f|=raizlang<= f,frang<= e |g|=raizlang<= g,grang<= para f(x)=x^2-2x e g(x)=x+3. O conteúdo envolve cálculo de integrais definidas para produto interno e norma de funções.

Passo 2

Para calcular lang<= f,grang<=, expandimos o produto dos polinômios e integramos cada termo.
f(x)g(x)=(x^2-2x)(x+3)=x^3+3x^2-2x^2-6x=x^3+x^2-6x
Então
lang<= f,grang<==integral0^1(x^3+x^2-6x),dx=l[tfracx^44+tfracx^33-3x^2r]0^1=tfrac14+tfrac13-3=-tfrac2912

Passo 3

Para calcular |f|, usamos |f|^2=lang<= f,frang<==integral0^1(x^2-2x)^2,dx. Primeiro expandimos
(x^2-2x)^2=x^4-4x^3+4x^2
Depois integramos
|f|^2=integral0^1(x^4-4x^3+4x^2),dx=l[tfracx^55-x^4+tfrac4x^33r]0^1=tfrac15-1+tfrac43=tfrac815,
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|f|=raiztfrac815

Passo 4

Para calcular |g|, usamos |g|^2=lang<= g,grang<==integral0^1(x+3)^2,dx. Primeiro
(x+3)^2=x^2+6x+9
Então
|g|^2=integral0^1(x^2+6x+9),dx=l[tfracx^33+3x^2+9xr]0^1=tfrac13+3+9=tfrac373,
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|g|=raiztfrac373

Resposta

lang<= f,grang<==-tfrac2912, |f|=raiztfrac815, |g|=raiztfrac373

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