Considere o produto interno
lang<= p, qrang<==2 a c+a d+b c+2 b d
definido para polinômios p=a x+b e q=c x+d de grau menor ou igual a um. Defina também a norma |p|=raizlang<= p, prang<= (para qualquer polinômio p de grau menour ou igual a um).
(a) Calcule o ângulo theta entre os polinômios p=x-1 e q=3 x. Recorde que, analogamente ao caso do produto escalar, nesse caso theta=arccos lang<= p, qrang<=|p||q|.
(b) Encontre um polinômio r que seja ortogonal ao polinômio p=x-1, isto é, tal que lang<= p, rrang<==0.

Passo 1

Aqui o enunciado define um produto interno em P₁ (polinômios de grau ≤1) por ⟨p,q⟩ = 2ac + ad + bc + 2bd, com p(x)=ax+b e q(x)=cx+d. Precisamos usar isso para (a) calcular o ângulo entre p=x−1 e q=3x via θ=arccos(⟨p,q⟩/(∥p∥∥q∥)) e (b) achar um r(x)=αx+β tal que ⟨p,r⟩=0.

Passo 2

Para (a) identificamos os coeficientes p: a=1, b=−1; q: c=3, d=0. Então calculamos o produto interno:
⟨p,q⟩=2·1·3 + 1·0 + (−1)·3 + 2·(−1)·0 = 6 + 0 − 3 + 0 = 3

Passo 3

Ainda em (a), calculamos as normas:
∥p∥^2=⟨p,p⟩=2·1·1 + 1·(−1) + (−1)·1 + 2·(−1)·(−1)=2−1−1+2=2,
logo ∥p∥=√2; e
∥q∥^2=⟨q,q⟩=2·3·3 + 3·0 + 0·3 + 2·0·0=18,
logo ∥q∥=√18=3√2.

Passo 4

Com esses valores,
$$\cos θ=\frac{⟨p,q⟩}{∥p∥∥q∥}=\frac{3}{(√2)(3√2)}=\frac{3}{6}=\tfrac12,
$$
e portanto θ=arccos(1/2)=π/3.

Passo 5

Para (b), seja r(x)=αx+β. Impondo ⟨p,r⟩=0, temos
⟨p,r⟩=2·1·α + 1·β + (−1)·α + 2·(−1)·β=2α+β−α−2β=α−β=0
Isso dá α=β, ou seja r(x)=α(x+1). Podemos escolher α=1 para simplicidade.

Passo 6

Então, por exemplo, r(x)=x+1 é ortogonal a p(x)=x−1 sob esse produto interno.

Resposta

θ=π/3 e r(x)=x+1

Exercícios relacionados