Considere o produto interno
definido para polinômios
e
de grau menor ou igual a um. Defina também a norma
(para qualquer polinômio
de grau menour ou igual a um).
(a) Calcule o ângulo
entre os polinômios
e
. Recorde que, analogamente ao caso do produto escalar, nesse caso
.
(b) Encontre um polinômio
que seja ortogonal ao polinômio
, isto é, tal que
.
(a) Calcule o ângulo
(b) Encontre um polinômio
Passo 1
Aqui o enunciado define um produto interno em P₁ (polinômios de grau ≤1) por ⟨p,q⟩ = 2ac + ad + bc + 2bd, com p(x)=ax+b e q(x)=cx+d. Precisamos usar isso para (a) calcular o ângulo entre p=x−1 e q=3x via θ=arccos(⟨p,q⟩/(∥p∥∥q∥)) e (b) achar um r(x)=αx+β tal que ⟨p,r⟩=0.
Passo 2
Para (a) identificamos os coeficientes p: a=1, b=−1; q: c=3, d=0. Então calculamos o produto interno:
Passo 3
Ainda em (a), calculamos as normas:
logo ∥p∥=√2; e
logo ∥q∥=√18=3√2.
Passo 4
Com esses valores,
$$\cos θ=\frac{⟨p,q⟩}{∥p∥∥q∥}=\frac{3}{(√2)(3√2)}=\frac{3}{6}=\tfrac12,
$$
e portanto θ=arccos(1/2)=π/3.
e portanto θ=arccos(1/2)=π/3.
Passo 5
Para (b), seja r(x)=αx+β. Impondo ⟨p,r⟩=0, temos
Isso dá α=β, ou seja r(x)=α(x+1). Podemos escolher α=1 para simplicidade.
Passo 6
Então, por exemplo, r(x)=x+1 é ortogonal a p(x)=x−1 sob esse produto interno.
Resposta
θ=π/3 e r(x)=x+1