A seguir são listados vetores v1, ldots vk in R^n. Determine se eles são l.i. ou l.d. usando o seguinte procedimento: interprete a relação a1 v1+cdots+ak vk=0 como um sistema linear homogêneo com k incógnitas a1, ldots, ak e n equações. Se o sistema for determinado então o conjunto é l.i. caso contrário o conjunto é l.d.
(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1),(1,0,0) em R^3.

Passo 1

O enunciado pede para testar se os 4 vetores em R^3 são linearmente independentes ou dependentes usando o sistema homogêneo, então vamos usar conteúdos de espaços vetoriais e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro montamos a combinação linear nula a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4 = 0. Isso gera o sistema de 3 equações em 4 incógnitas:
a1 + a2 + a3 + a4 = 0, a1 ;;;; +;; a3 ;;; = 0, ;;;;; a2 + a3 ;;; = 0
Da segunda equação tiramos a1 = -a3 e da terceira a2 = -a3.
Substituindo na primeira:
(-a3) + (-a3) + a3 + a4 = 0
isso dá -2a3 + a3 + a4 = 0, ou seja -a3 + a4 = 0 e portanto a4 = a3.

Passo 3

Como sobra a variável livre a3, há infinitas soluções não triviais (por exemplo, tomando a3=1 obtemos a1=-1,;a2=-1,;a4=1 e uma dependência -v1 - v2 + v3 + v4 = 0).

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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