A seguir são listados vetores v1, ldots vk in R^n. Determine se eles são l.i. ou l.d. usando o seguinte procedimento: interprete a relação a1 v1+cdots+ak vk=0 como um sistema linear homogêneo com k incógnitas a1, ldots, ak e n equações. Se o sistema for determinado então o conjunto é l.i. caso contrário o conjunto é l.d.
(1,1,0,0),(1,0,1,0),(3,1,0,2) em R^4.

Passo 1

Temos os vetores v1=(1,1,0,0), v2=(1,0,1,0) e v3=(3,1,0,2) em R^4. O conteúdo é dependência linear e vamos usar sistemas lineares homogêneos para verificar se existe solução não trivial para a1v1+a2v2+a3v3=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear nula dos vetores em R^4:
a1(1,1,0,0)+a2(1,0,1,0)+a3(3,1,0,2)=(0,0,0,0)

Passo 3

Da igualdade componente a componente obtemos o sistema homogêneo:
a1 + a2 + 3a3 = 0, a1 + a3 = 0, a2 = 0, 2a3 = 0

Passo 4

Da terceira equação segue a2=0 e da quarta 2a3=0 implica a3=0. Substituindo na segunda equação a1 + a3 = 0 temos a1=0. Portanto, a única solução é a trivial (a1,a2,a3)=(0,0,0).

Passo 5

Um sistema homogêneo que admite apenas a solução trivial mostra que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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