Considere M2(R) com o produto interno
lang<= A, Brang<==a11 b11+a12 b12+a21 b21+a22 b22
onde A=(ai j)i, j e B=(bi j)i, j, i, j=1,2. Seja
W=(cc x & y z & w ) x+y-z=0
Determine uma base ortogonal de W.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortogonal de , onde
e o produto interno é o usual de Frobenius. Vamos primeiro achar uma descrição paramétrica de e um conjunto gerador, e depois aplicar Gram–Schmidt para torná-lo ortogonal.

Passo 2

Como x+y-z=0 temos z=x+y. Logo um elemento genérico de W é
x & y x+y & w = xunderbrace1&01&0A1 + yunderbrace0&11&0A2 + wunderbrace0&00&1A3
Assim A1,A2,A3 gera W e dim W=3.

Passo 3

Verificamos que
lang<= A1,A1rang<==2, lang<= A1,A2rang<==1, lang<= A1,A3rang<==0, lang<= A2,A3rang<==0
Para ortogonalizar, mantemos v1=A1 e definimos
v2=A2-lang<= A2,v1rang<=lang<= v1,v1rang<=v1 =A2-12A1 =-tfrac12&1[6pt]tfrac12&0
Como lang<= A3,v1rang<==0 e lang<= A3,v2rang<==0, podemos tomar v3=A3.]

Passo 4

Para eliminar frações em v2, basta escalar por 2:
B1=v1=1&01&0, B2=2v2=-1&21&0, B3=v3=0&00&1
Checamos que cada Biin W e lang<= Bi,Bjrang<==0 para ineq j.

Resposta

Uma base ortogonal de W é
B1=1&01&0, B2=-1&21&0, B3=0&00&1

Exercícios relacionados