Seja um conjunto ortogonal de vetores não nulos em um espaço vetorial com produto interno. Seja um vetor qualquer.
Mostre que a igualdade vale se e somente se
Passo 1
O enunciado fala de um conjunto ortogonal de vetores não nulos em um espaço com produto interno e de um vetor arbitrário . Já sabemos que, para quaisquer escalares , vale
onde usamos ortogonalidade para anular todos os termos cruzados lang<= vi,vjrang<= com ineq j. A partir daí vêm a desigualdade de Bessel e o caso de igualdade que queremos caracterizar.
Passo 2
Escolhemos
alphak=lang<= v,vkrang<=|vk|^2, k=1,dots,m
Substituindo nessa expressão de l|v-sumalphakvkr|^2, os termos ficam