Seja v1, v2, ldots, vm um conjunto ortogonal de vetores não nulos em um espaço vetorial V com produto interno. Seja v in V um vetor qualquer.
Mostre que a igualdade vale se e somente se
v=sumk=1^n lang<= v, vkrang<=|vk|^2 vk

Passo 1

O enunciado fala de um conjunto ortogonal de vetores não nulos v1,dots,vm em um espaço com produto interno e de um vetor arbitrário v. Já sabemos que, para quaisquer escalares alpha1,dots,alpham, vale
l|,v - sumk=1^malphakvkr|^2 =|v|^2 -2sumk=1^mRel(alphaklang<= v,vkrang<=r) +sumk=1^m|alphak|^2|vk|^2,
onde usamos ortogonalidade para anular todos os termos cruzados lang<= vi,vjrang<= com ineq j. A partir daí vêm a desigualdade de Bessel e o caso de igualdade que queremos caracterizar.

Passo 2

Escolhemos
alphak=lang<= v,vkrang<=|vk|^2, k=1,dots,m
Substituindo nessa expressão de l|v-sumalphakvkr|^2, os termos ficam
-2Rel(lang<= v,vkrang<=|vk|^2lang<= v,vkrang<=r) +|tfraclang<= v,vkrang<=|vk|^2|^2|vk|^2 =-|lang<= v,vkrang<=|^2|vk|^2 +|lang<= v,vkrang<=|^2|vk|^2=0
para cada k, de modo que
l|,v-sumk=1^mtfraclang<= v,vkrang<=|vk|^2vkr|^2 =|v|^2 -sumk=1^m|lang<= v,vkrang<=|^2|vk|^2
Como norma ao quadrado é não negativa, isso dá a desigualdade de Bessel
|v|^2>= sumk=1^m|lang<= v,vkrang<=|^2|vk|^2,
e a igualdade nessa desigualdade é equivalente a
l|,v-sumk=1^mtfraclang<= v,vkrang<=|vk|^2vkr|^2=0

Passo 3

Observamos que
l|,v-sumk=1^mtfraclang<= v,vkrang<=|vk|^2vkr|^2=0 Long<=ftrightarrow v-sumk=1^mlang<= v,vkrang<=|vk|^2vk=0,
pois a única forma de uma norma ser zero é o vetor ser o vetor nulo.

Passo 4

Logo concluímos a equivalência pedida: a igualdade em Bessel (isto é,
|v|^2=sumk=1^m|lang<= v,vkrang<=|^2/|vk|^2)
ocorre se e somente se
v=sumk=1^mlang<= v,vkrang<=|vk|^2,vk

Resposta

Mostramos que a igualdade vale exatamente no caso
v=sumk=1^mlang<= v,vkrang<=|vk|^2,vk

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