Seja um conjunto ortogonal de vetores não nulos em um espaço vetorial com produto interno. Seja um vetor qualquer.
Prove a desigualdade de Bessel:
Passo 1
O enunciado nos dá um espaço vetorial com produto interno e um conjunto ortogonal de vetores não nulos . Para provar a desigualdade de Bessel
vamos usar a ideia de projeção ortogonal em subespaço e o teorema de Pitágoras em espaços com produto interno.
Passo 2
Definimos o subespaço W=spanv1,dots,vm e consideramos o vetor
p=sumk=1^mlang<= v,vkrang<=|vk|^2,vk
Esse p é precisamente a projeção ortogonal de v em W.
Passo 3
Como cada vk é ortogonal aos demais, verifica-se que v-p é ortogonal a cada vk e, portanto, ortogonal a todo vetor de W, em particular a p. Assim, pelo teorema de Pitágoras em espaços com produto interno,
|v|^2=|p|^2+|v-p|^2>=|p|^2
Passo 4
Agora calculemos |p|^2. Usando ortogonalidade entre os vk,