Seja v1, v2, ldots, vm um conjunto ortogonal de vetores não nulos em um espaço vetorial V com produto interno. Seja v in V um vetor qualquer.
Prove a desigualdade de Bessel:
sumk=1^m |lang<= v, vkrang<=|^2|vk|^2 <=|v|^2

Passo 1

O enunciado nos dá um espaço vetorial V com produto interno e um conjunto ortogonal de vetores não nulos v1,dots,vm. Para provar a desigualdade de Bessel
sumk=1^ml|lang<= v,vkrang<=r|^2|vk|^2<=|v|^2,
vamos usar a ideia de projeção ortogonal em subespaço e o teorema de Pitágoras em espaços com produto interno.

Passo 2

Definimos o subespaço W=spanv1,dots,vm e consideramos o vetor
p=sumk=1^mlang<= v,vkrang<=|vk|^2,vk
Esse p é precisamente a projeção ortogonal de v em W.

Passo 3

Como cada vk é ortogonal aos demais, verifica-se que v-p é ortogonal a cada vk e, portanto, ortogonal a todo vetor de W, em particular a p. Assim, pelo teorema de Pitágoras em espaços com produto interno,
|v|^2=|p|^2+|v-p|^2>=|p|^2

Passo 4

Agora calculemos |p|^2. Usando ortogonalidade entre os vk,
|p|^2=llang<= p,prrang<= =sumk=1^msumj=1^mlang<= v,vkrang<=|vk|^2, lang<= v,vjrang<=|vj|^2,lang<= vk,vjrang<=
Mas lang<= vk,vjrang<==0 para kneq j, e lang<= vk,vkrang<==|vk|^2, logo
|p|^2 =sumk=1^mlang<= v,vkrang<=,lang<= v,vkrang<= |vk|^4;|vk|^2 =sumk=1^ml|lang<= v,vkrang<=r|^2|vk|^2

Passo 5

Substituindo no resultado do Passo 3, obtemos
|v|^2>=|p|^2 =sumk=1^ml|lang<= v,vkrang<=r|^2|vk|^2,
que é exatamente a desigualdade de Bessel.

Resposta

sumk=1^ml|lang<= v,vkrang<=r|^2|vk|^2<=|v|^2

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