Seja V=C([-1,1], R) com o produto interno dado por
lang<= f, grang<==integral-1^1 f(t) g(t) d t
Seja W subsetneq V formado por todas as funções impares, isto é,
W=f in V: f(-t)=-f(t), forall t in[-1,1]
Determinar W^perp.

Passo 1

O enunciado define o espaço
V= C([-1,1], R)
com produto interno
lang<= f,grang<= ;=;integral-1^1f(t),g(t),dt
e o subespaço
W=fin V : f(-t)=-f(t),forall t
de todas as funções ímpares. Queremos achar
W^perp=gin V : lang<= f,grang<==0;forall fin W

Passo 2

Para analisar a condição lang<= f,grang<==0 para todo f ímpar, escrevemos qualquer gin V como soma de sua parte par e ímpar:
g(t)=ge(t)+go(t),
onde
ge(t)=tfrac12l(g(t)+g(-t)r), go(t)=tfrac12l(g(t)-g(-t)r)

Passo 3

Dado fin W (ípar) temos
lang<= f,grang<= =integral-1^1f(t),g(t),dt =integral-1^1f(t),ge(t),dt +integral-1^1f(t),go(t),dt
Como f é ímpar e ge é par, o produto f,ge é ímpar, logo
integral-1^1f(t),ge(t),dt=0
Restará
integral-1^1f(t),go(t),dt=0 forall f ímpar í

Passo 4

Se gonotequiv0, podemos escolher f=go, que é ímpar, e obter
integral-1^1go(t)^2,dt>0,
contradição. Logo go=0 e g=ge é par.

Resposta

W^perp=lgin V : g(-t)=g(t),forall tin[-1,1]r,
isto é, o subespaço de todas as funções pares em C([-1,1], R).

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