Seja
com o produto interno dado por
Seja
formado por todas as funções impares, isto é,
Determinar
.
Passo 1
O enunciado define o espaço
com produto interno
com produto interno
e o subespaço
de todas as funções ímpares. Queremos achar
Passo 2
Para analisar a condição
para todo
ímpar, escrevemos qualquer
como soma de sua parte par e ímpar:
onde
Passo 3
Dado
(ípar) temos
Como
é ímpar e
é par, o produto
é ímpar, logo
Restará
Passo 4
Se
, podemos escolher
, que é ímpar, e obter
contradição. Logo
e
é par.
Resposta
isto é, o subespaço de todas as funções pares em
.