Seja
A=[lll 3 & -1 & 1 7 & -5 & 1 6 & -6 & 2 ]
A é diagonalizável? Se fato encontre P tal que P^-1 A P seja diagonal.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 3 & -1 & 1 7 & -5 & 1 6 & -6 & 2
é diagonalizável. Para isso, vamos calcular os valores próprios (autovalores) de A resolvendo o polinômio característico det(A - lambda I)=0 e em seguida determinar as dimensões dos espaços próprios associados.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det 3-lambda & -1 & 1 7 & -5-lambda & 1 6 & -6 & 2-lambda
Fazendo a expansão pela primeira linha obtemos
det(A - lambda I) = (3-lambda)l[(-5-lambda)(2-lambda)+6r] +1,l[7(2-lambda)-6r] +1,l[7(-6)-6(-5-lambda)r]
Simplificando cada parte chega-se a
-lambda^3 +12lambda -16 = 0,
ou seja,
lambda^3 -12lambda +16 = 0

Passo 3

Procuramos raízes inteiras do polinômio lambda^3 -12lambda +16. Testando lambda=2 e lambda=-4 vemos que são raízes. A divisão sintética mostra que
lambda^3 -12lambda +16 = (lambda-2)^2(lambda+4)
Logo os autovalores são
lambda1 = 2(mu<iplicidade algébrica 2), lambda2 = -4(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 4

Agora determinamos as dimensões dos espaços próprios.
Para , resolvemos :
O espaço próprio tem base , portanto dimensão .
Para , resolvemos :
O espaço próprio tem base , dimensão .

Passo 5

A soma das dimensões dos espaços próprios é
1 ;(lambda=2) + 1 ;(lambda=-4) = 2 < 3
Como a soma das dimensões geométricas é menor que a ordem da matriz, A é defeituosa e não pode ser colocada na forma diagonal por similaridade.

Resposta

A não é diagonalizável.

Exercícios relacionados