Determine uma base ortonormal para o subespaço
de
gerado pelos vetores
e
, considerando o produto interno usual.
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal de
com o produto interno usual.
O processo que vamos usar é o de Gram–Schmidt para gerar vetores ortogonais a partir de e depois normalizar cada um.
com o produto interno usual.
O processo que vamos usar é o de Gram–Schmidt para gerar vetores ortogonais a partir de
Passo 2
Começamos com
Calculamos a norma:
Definimos então
Passo 3
Para obter o segundo vetor, projetamos
sobre
:
Então
Calculamos sua norma:
e normalizamos:
Passo 4
Para o terceiro vetor, primeiro removemos a componente em
de
:
Em seguida projetamos esse resultado sobre
. Chamando-o de
, temos
Então
Podemos reescrever
Logo
Passo 5
Os três vetores
são mutuamente ortogonais e de norma 1, portanto formam uma base ortonormal de
.