Sejam V=\mathbb{R}^{2} com o produto interno usual e U=\{(-x,-x) ; x \in \mathbb{R}\}. Determine U^{\perp}.

Passo 1

O enunciado pede o complemento ortogonal de U\subset V, onde V=\mathbb{R}^2 com o produto interno usual. O conteúdo é encontrar
U^\perp=\{v\in V\mid \langle v,u\rangle=0\;\forall u\in U\}.
Vamos usar a definição de produto interno em \mathbb{R}^2 e resolver a condição de ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, note que
U=\{(-x,-x)\mid x\in\mathbb{R}\}
é a reta gerada pelo vetor (-1,-1). Então todo vetor u\in U pode ser escrito como
u = x\,(-1,-1).

Passo 3

Seja v=(a,b)\in\mathbb{R}^2. Exigimos
\langle v,u\rangle = 0\quad\forall\,u\in U.
Como u=x(-1,-1), temos
\langle v,u\rangle = \langle (a,b),\,x(-1,-1)\rangle = x\bigl(a\cdot(-1) + b\cdot(-1)\bigr) = -x\,(a+b).
Para isso ser zero para todo x, precisa valer
a + b = 0.

Passo 4

A condição a+b=0 diz que b=-a. Portanto
U^\perp = \{(a,-a)\mid a\in\mathbb{R}\},
ou seja, a reta gerada por (1,-1).

Resposta

U^\perp = \{(a,-a)\mid a\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(1,-1)\}.

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