Considere o produto interno usual. Determine \operatorname{proj}_{u} v e o tamanho da “sombra” de v sobre u, onde:
u=(0,-1) e v=(1,1)

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,u=(0,-1)\, e \,v=(1,1)\, e pede duas coisas:
  1. a projeção de v sobre u, ou seja \operatorname{proj}_{u} v;
  2. o tamanho da “sombra” de v sobre u, isto é o comprimento (norma) do vetor \operatorname{proj}_{u} v.
Lista das informações relevantes do enunciado:
\,u=(0,-1)\, e \,v=(1,1)\,.
Nada mais é necessário.

Passo 2

Lembra do que é produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^2: para dois vetores \,a=(a_x,a_y)\, e \,b=(b_x,b_y)\, temos
\langle a,b\rangle = a_x b_x + a_y b_y.
A projeção de v sobre u (quando usamos o produto interno usual) é dada pela fórmula
\operatorname{proj}_{u} v = \frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\; u.
Aqui \langle v,u\rangle é o produto escalar entre v e u, e \langle u,u\rangle é o quadrado da norma de u (ou seja \|u\|^2). Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcule o produto escalar \langle v,u\rangle. Usando a definição:
\langle v,u\rangle = 1\cdot 0 + 1\cdot(-1).
Logo
\langle v,u\rangle = 0 - 1 = -1.

Passo 4

Calcule \langle u,u\rangle, que é \|u\|^2:
\langle u,u\rangle = 0^2 + (-1)^2 = 0 + 1 = 1.

Passo 5

Substitua na fórmula da projeção:
\operatorname{proj}_{u} v = \frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\; u = \frac{-1}{1}\; u = -1\cdot u.
Como u=(0,-1), temos
\operatorname{proj}_{u} v = -1\cdot(0,-1).

Passo 6

Multiplique o escalar pelo vetor:
-1\cdot(0,-1) = (0,1).
Portanto a projeção vetorial é \operatorname{proj}_{u} v = (0,1).

Passo 7

Agora o tamanho da “sombra” — ou seja a norma do vetor projeção \|\operatorname{proj}_{u} v\| — pode ser obtida de duas maneiras equivalentes.
Método A (norma direta do vetor resultante):
\|\operatorname{proj}_{u} v\| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1.
Método B (fórmula do comprimento da componente projetada):
a componente escalar de v na direção de u tem magnitude
\frac{|\langle v,u\rangle|}{\|u\|}.
Aqui \langle v,u\rangle = -1 e \|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle}=\sqrt{1}=1, então
\frac{|\langle v,u\rangle|}{\|u\|} = \frac{|-1|}{1} = 1,
confirmando o resultado.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo: geometricamente, u aponta para baixo (vetor (0,-1)) e v aponta para cima e à direita (1,1). A projeção de v sobre u é um vetor na direção de u (ou na direção oposta), e aqui saiu (0,1), que é justamente o oposto de u — isto explica o sinal negativo do produto escalar. Você conseguiu! Isso é exatamente o tipo de cálculo que costuma cair tranquilo na prova se você seguir a receita da fórmula.

Resposta

\operatorname{proj}_{u} v = (0,1)
\|\operatorname{proj}_{u} v\| = 1

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