Considere o produto interno usual. Determine
e o tamanho da “sombra” de
sobre
, onde:
e
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede duas coisas:
- a projeção de
sobre , ou seja ; - o tamanho da “sombra” de
sobre , isto é o comprimento (norma) do vetor .
Lista das informações relevantes do enunciado:
e
.
Nada mais é necessário.
Nada mais é necessário.
Passo 2
Lembra do que é produto interno (produto escalar) em
: para dois vetores
e
temos
A projeção de
sobre
(quando usamos o produto interno usual) é dada pela fórmula
Aqui
é o produto escalar entre
e
, e
é o quadrado da norma de
(ou seja
). Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Calcule o produto escalar
. Usando a definição:
Logo
Passo 4
Calcule
, que é
:
Passo 5
Substitua na fórmula da projeção:
Como
, temos
Passo 6
Multiplique o escalar pelo vetor:
Portanto a projeção vetorial é
.
Passo 7
Agora o tamanho da “sombra” — ou seja a norma do vetor projeção
— pode ser obtida de duas maneiras equivalentes.
Método A (norma direta do vetor resultante):
Método B (fórmula do comprimento da componente projetada):
a componente escalar de na direção de
tem magnitude
a componente escalar de
Aqui
e
, então
confirmando o resultado.
Passo 8
Interpretação rápida e incentivo: geometricamente,
aponta para baixo (vetor
) e
aponta para cima e à direita
. A projeção de
sobre
é um vetor na direção de
(ou na direção oposta), e aqui saiu
, que é justamente o oposto de
— isto explica o sinal negativo do produto escalar. Você conseguiu! Isso é exatamente o tipo de cálculo que costuma cair tranquilo na prova se você seguir a receita da fórmula.