Considere o produto interno usual em
, onde
e
. Dados os polinômios
e
, calcular:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Cosseno do ângulo entre
e
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Cosseno do ângulo entre
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com produto interno no espaço dos polinômios de grau até 2, ou seja, no conjunto
. O produto interno é dado por:
onde
e
.
Vamos precisar identificar os coeficientes dos polinômios dados e aplicar essa fórmula para resolver os itens de (a) a (e).
Passo 2
Vamos começar pelo item a): calcular
.
Primeiro, vamos identificar os coeficientes de
e
:
-
Aqui,, , e . -
Aqui, como não tem termo, , , e .
Agora, aplicando a fórmula do produto interno:
Passo 3
Agora, o item b): calcular
.
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um polinômio
é definida como
.
Vamos calcular
e
separadamente.
Para
:
Para
:
Primeiro, vamos reescrever
para identificar os coeficientes:
Assim,
,
, e
.
Agora, multiplicando as normas:
Passo 4
Vamos para o item c): calcular
.
Primeiro, precisamos somar os polinômios
e
:
Então,
.
Agora, vamos calcular a norma desse polinômio:
Passo 5
Passando para o item d): calcular
.
Primeiro, vamos calcular a norma de
.
Para
:
Identificando os coeficientes:
Agora, dividimos cada coeficiente de
pela norma:
Passo 6
Finalmente, o item e): calcular o cosseno do ângulo entre
e
.
Para encontrar o cosseno do ângulo entre dois vetores no espaço com produto interno, usamos a fórmula:
Primeiro, vamos calcular
.
Para
e
:
Identificando os coeficientes de
:
Já calculamos anteriormente
e
.
Agora, substituindo na fórmula:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e) Cosseno do ângulo entre
e
é