Considere o produto interno usual em P2(R):lang<= p, qrang<==a2 b2+a1 b1+a0 b0, onde p= a2 x^2+a1 x+a0 e q=b2 x^2+b1 x+b0. Dados os polinômios p1=x^2-2 x+3, p2=3 x-4 e p3=1-x^2, calcular:
(a) lang<= p1, p2rang<=
(b) |p1| e|p3|
(c) |p1+p2|
(d) p2|p2|
(e) Cosseno do ângulo entre p2 e p3.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com produto interno no espaço dos polinômios de grau até 2, ou seja, no conjunto P2(R) . O produto interno é dado por:
lang<= p, q rang<= = a2 b2 + a1 b1 + a0 b0
onde p = a2x^2 + a1x + a0 e q = b2x^2 + b1x + b0 .
Vamos precisar identificar os coeficientes dos polinômios dados e aplicar essa fórmula para resolver os itens de (a) a (e).

Passo 2

Vamos começar pelo item a): calcular lang<= p1, p2 rang<= .
Primeiro, vamos identificar os coeficientes de p1 e p2 :
  • p1 = x^2 - 2x + 3
    Aqui, a2 = 1 , a1 = -2 , e a0 = 3 .
  • p2 = 3x - 4
    Aqui, como não tem termo x^2 , b2 = 0 , b1 = 3 , e b0 = -4 .
Agora, aplicando a fórmula do produto interno:
lang<= p1, p2 rang<= = (1)(0) + (-2)(3) + (3)(-4)
= 0 - 6 - 12 = -18

Passo 3

Agora, o item b): calcular |p1| cdot |p3| .
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um polinômio p é definida como |p| = raizlang<= p, p rang<= .
Vamos calcular |p1| e |p3| separadamente.
Para p1 = x^2 - 2x + 3 :
lang<= p1, p1 rang<= = (1)^2 + (-2)^2 + (3)^2 = 1 + 4 + 9 = 14
|p1| = raiz14
Para p3 = 1 - x^2 :
Primeiro, vamos reescrever p3 para identificar os coeficientes:
p3 = -x^2 + 0x + 1
Assim, a2 = -1 , a1 = 0 , e a0 = 1 .
lang<= p3, p3 rang<= = (-1)^2 + (0)^2 + (1)^2 = 1 + 0 + 1 = 2
|p3| = raiz2
Agora, multiplicando as normas:
|p1| cdot |p3| = raiz14 cdot raiz2 = raiz28 = 2raiz7

Passo 4

Vamos para o item c): calcular |p1 + p2| .
Primeiro, precisamos somar os polinômios p1 e p2 :
p1 + p2 = (x^2 - 2x + 3) + (3x - 4) = x^2 + ( -2x + 3x ) + (3 - 4) = x^2 + x - 1
Então, p1 + p2 = x^2 + x - 1 .
Agora, vamos calcular a norma desse polinômio:
lang<= p1 + p2, p1 + p2 rang<= = (1)^2 + (1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3
|p1 + p2| = raiz3

Passo 5

Passando para o item d): calcular p2|p2| .
Primeiro, vamos calcular a norma de p2 .
Para p2 = 3x - 4 :
Identificando os coeficientes:
p2 = 0x^2 + 3x - 4
lang<= p2, p2 rang<= = (0)^2 + (3)^2 + (-4)^2 = 0 + 9 + 16 = 25
|p2| = raiz25 = 5
Agora, dividimos cada coeficiente de p2 pela norma:
p2|p2| = 3x - 45 = 35x - 45

Passo 6

Finalmente, o item e): calcular o cosseno do ângulo entre p2 e p3 .
Para encontrar o cosseno do ângulo entre dois vetores no espaço com produto interno, usamos a fórmula:
cos(theta) = lang<= p2, p3 rang<=|p2| cdot |p3|
Primeiro, vamos calcular lang<= p2, p3 rang<= .
Para p2 = 3x - 4 e p3 = 1 - x^2 :
Identificando os coeficientes de p3 :
p3 = -x^2 + 0x + 1
lang<= p2, p3 rang<= = (0)(0) + (3)(0) + (-4)(1) = 0 + 0 -4 = -4
Já calculamos anteriormente |p2| = 5 e |p3| = raiz2 .
Agora, substituindo na fórmula:
cos(theta) = -45 cdot raiz2 = -45raiz2 = -4raiz210 = -2raiz25

Resposta

a) lang<= p1, p2 rang<= = -18
b) |p1| cdot |p3| = 2raiz7
c) |p1 + p2| = raiz3
d) p2|p2| = 35x - 45
e) Cosseno do ângulo entre p2 e p3 é -2raiz25

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