Sejam
.Verifique quais das seguintes funçōes
definem um produto interno:
Passo 1
O enunciado dá a função
em
e pede para verificar se ela satisfaz os três axiomas de um produto interno: simetria, bilinearidade e positividade definida.
Passo 2
Verificamos a simetria: trocando
por
obtemos
e, como a multiplicação é comutativa, isso coincide com
. Logo, a simetria vale.
Passo 3
Verificamos a bilinearidade em cada argumento. Por exemplo, para vetores
e escalar
,
e
Analogamente na segunda coordenada. Logo, é bilinear.
Passo 4
Verificamos a positividade definida calculando
Se tomarmos
, então
violando a condição
para
.
Resposta
A função não define um produto interno em
, pois falha na positividade definida.