Sejam v1=(x1, y1, z1), v2=(x2, y2, z2) in R^3.Verifique quais das seguintes funçōes lang<=rang<=:, R^3 times R^3 R definem um produto interno:
lang<= v1, v2rang<==x1 x2+y1 y2-z1 z2

Passo 1

O enunciado dá a função
lang<= v1,v2rang<= = x1x2 + y1y2 - z1z2
em R^3 e pede para verificar se ela satisfaz os três axiomas de um produto interno: simetria, bilinearidade e positividade definida.

Passo 2

Verificamos a simetria: trocando v1 por v2 obtemos
lang<= v2,v1rang<= = x2x1 + y2y1 - z2z1
e, como a multiplicação é comutativa, isso coincide com lang<= v1,v2rang<=. Logo, a simetria vale.

Passo 3

Verificamos a bilinearidade em cada argumento. Por exemplo, para vetores v1,v1' e escalar alpha,
lang<= v1+v1',v2rang<= = (x1+x1')x2 + (y1+y1')y2 - (z1+z1')z2 = lang<= v1,v2rang<= + lang<= v1',v2rang<=
e
lang<= alpha v1,v2rang<= = (alpha x1)x2 + (alpha y1)y2 - (alpha z1)z2 = alphalang<= v1,v2rang<=
Analogamente na segunda coordenada. Logo, é bilinear.

Passo 4

Verificamos a positividade definida calculando
lang<= v,vrang<= = x^2 + y^2 - z^2
Se tomarmos v=(0,0,1), então
lang<= v,vrang<= = 0^2 + 0^2 - 1^2 = -1 < 0,
violando a condição lang<= v,vrang<=>0 para vneq 0.

Resposta

A função não define um produto interno em R^3, pois falha na positividade definida.

Exercícios relacionados