Verificar a desigualdade de Schwarz quando se tem:
v1=(2,-1) e v2=(-2,-4) e o produto interno do exercício 1(a).

Passo 1

O enunciado pede para verificar a desigualdade de Schwarz (ou Cauchy–Schwarz) para os vetores
v1 = (2,-1), v2=(-2,-4)
no espaço R^2 com o produto interno padrão
lang<= (x1,x2),(y1,y2)rang<= = x1y1 + x2y2
Para isso, vamos calcular lang<= v1,v2rang<=, as normas |v1| e |v2| e checar
l|lang<= v1,v2rang<=r|;<=;|v1|,|v2|

Passo 2

Calcular o produto interno:
lang<= v1,v2rang<= = 2cdot(-2) + (-1)cdot(-4) = -4 + 4 = 0

Passo 3

Calcular as normas:
|v1| = raizlang<= v1,v1rang<= = raiz2^2 + (-1)^2 = raiz5,
|v2| = raizlang<= v2,v2rang<= = raiz(-2)^2 + (-4)^2 = raiz4 + 16 = raiz20 = 2raiz5

Passo 4

Multiplicar as normas e comparar:
|v1|,|v2| = raiz5times2raiz5 = 2cdot5 = 10,
l|lang<= v1,v2rang<=r| = |0| = 0,
logo
0 <= 10,
o que confirma que a desigualdade de Schwarz vale para esses vetores.

Resposta

A desigualdade de Schwarz fica
l|lang<= v1,v2rang<=r| = 0 <= 10 = |v1|,|v2|,
portanto ela está satisfeita.

Exercícios relacionados