QUESTÃO 01 | VALOR 3.5
Dados os vetores x e a, obtenha um conjunto ortonormal de vetores Z=z1, z2, z3, z4 tal que o vetor z1 apresente a mesma direção e sentido que a direção definida pelo vetor a. Siga os passos definidos a seguir.
I. Obtenha o vetor z1.
II. Obtenha o vetor z2 via decomposição ortogonal de x sobre z1.
III. Obtenha a solução geral (paramétrica) que representa qualquer vetor perpendicular à z1, z2.
IV. Realize a decomposição ortogonal sobre os vetores solução para obter z3, z4.
x=(3,-1,3,-1) a=(-3,-4,1,-2)

Passo 1

O exercício pede pra gente achar um conjunto ortonormal Z = { z1, z2, z3, z4} em R^4, usando os vetores x=(3,-1,3,-1) e a=(-3,-4,1,-2). A matéria aqui é Gram–Schmidt, que usa produto interno, norma (comprimento de vetor) e projeção ortogonal pra gerar vetores ortonormais.

Passo 2

Pra achar z1, a gente precisa de um vetor unitário na direção de a. Primeiro calcula a norma de a:
|a| = raiz(-3)^2 + (-4)^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz30
Então
z1 = 1raiz30,(-3,-4,1,-2)

Passo 3

Agora vamos pegar x e remover todo o componente na direção de z1. A projeção de x em z1 é
projz1(x) = (x cdot z1),z1
Como x cdot a = 0, dá xcdotz1=0, ou seja, x já é ortogonal a z1. Então
z2 = x|x|,
onde
|x| = raiz3^2 + (-1)^2 + 3^2 + (-1)^2 = 2raiz5
Logo
z2 = 12raiz5,(3,-1,3,-1)

Passo 4

Agora precisamos achar todos os vetores que sejam ortogonais a z1 e z2. Chamamos esse vetor geral de v=(v1,v2,v3,v4) e impomos:
vcdotz1 = 0,
vcdotz2 = 0
Isso vira o sistema linear
-3v1 -4v2 + v3 -2v4 = 0,
3v1 - v2 +3v3 - v4 = 0
Resolvendo parametricamente (deixa v3=t, v4=s), obtemos uma base de soluções, por exemplo:
u3 = (-11,12,15,0),
u4 = (2,-9,0,15)

Passo 5

Por fim, aplicamos Gram–Schmidt nesses dois vetores nu3,nu4 (que já são ortogonais a z1,z2) pra torná-los ortonormais entre si. O resultado é:
z3 = 17raiz10(-11,12,15,0),
z4 = 17raiz60(-3,-19,13,49)

Resposta

Aqui está o conjunto ortonormal pedido:
z1 = 1raiz30(-3, -4, 1, -2)
z2 = 12raiz5(3, -1, 3, -1)
z3 = 17raiz10(-11, 12, 15, 0)
z4 = 17raiz60(-3, -19, 13, 49)

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