QUESTÃO 01 | VALOR 3.5
Dados os vetores
, obtenha um conjunto ortonormal de vetores
tal que o vetor
apresente a mesma direção e sentido que a direção definida pelo vetor a. Siga os passos definidos a seguir.
I. Obtenha o vetor
.
II. Obtenha o vetor
via decomposição ortogonal de
sobre
.
III. Obtenha a solução geral (paramétrica) que representa qualquer vetor perpendicular à
.
IV. Realize a decomposição ortogonal sobre os vetores solução para obter
.
Dados os vetores
I. Obtenha o vetor
II. Obtenha o vetor
III. Obtenha a solução geral (paramétrica) que representa qualquer vetor perpendicular à
IV. Realize a decomposição ortogonal sobre os vetores solução para obter
Passo 1
O exercício pede pra gente achar um conjunto ortonormal Z = {
} em
, usando os vetores
e
. A matéria aqui é Gram–Schmidt, que usa produto interno, norma (comprimento de vetor) e projeção ortogonal pra gerar vetores ortonormais.
Passo 2
Pra achar
, a gente precisa de um vetor unitário na direção de
. Primeiro calcula a norma de
:
Então
Passo 3
Agora vamos pegar
e remover todo o componente na direção de
. A projeção de
em
é
Como
, dá
, ou seja,
já é ortogonal a
. Então
onde
Logo
Passo 4
Agora precisamos achar todos os vetores que sejam ortogonais a
e
. Chamamos esse vetor geral de
e impomos:
Isso vira o sistema linear
Resolvendo parametricamente (deixa
,
), obtemos uma base de soluções, por exemplo:
Passo 5
Por fim, aplicamos Gram–Schmidt nesses dois vetores
(que já são ortogonais a
) pra torná-los ortonormais entre si. O resultado é:
Resposta
Aqui está o conjunto ortonormal pedido: