Verificar a desigualdade de Schwarz quando se tem:
p=-x^2+x-3 e q=3 x^2-x+1 e o produto interno usual de P2(R).

Passo 1

O enunciado nos dá dois polinômios em P2(R),
p(x) = -x^2 + x - 3, q(x) = 3x^2 - x + 1,
e pede para verificar a desigualdade de Schwarz (Cauchy–Schwarz) no espaço com o produto interno usual
lang<= f,grang<= = integral0^1 f(x),g(x),dx
Para isso precisamos calcular lang<= p,qrang<=, lang<= p,prang<= e lang<= q,qrang<= e mostrar que
lang<= p,qrang<=^2 ;<=;lang<= p,prang<= ,lang<= q,qrang<=

Passo 2

Calcular lang<= p,qrang<=. Primeiro formamos o produto
p(x),q(x) =(-x^2+x-3)(3x^2 - x + 1) =-3x^4 +4x^3 -11x^2 +4x -3
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lang<= p,qrang<= =integral0^1l(-3x^4 +4x^3 -11x^2 +4x -3r),dx =-35+1-113+2-3 =-6415

Passo 3

Calcular lang<= p,prang<=. Note que
p(x)^2 =(-x^2+x-3)^2 = x^4 -2x^3 +7x^2 -6x +9
Assim
lang<= p,prang<= =integral0^1(x^4 -2x^3 +7x^2 -6x +9),dx =15-12+73-3+9 =24130

Passo 4

Calcular lang<= q,qrang<=. Temos
q(x)^2 =(3x^2 - x +1)^2 =9x^4 -6x^3 +7x^2 -2x +1,
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lang<= q,qrang<= =integral0^1(9x^4 -6x^3 +7x^2 -2x +1),dx =95-32+73-1+1 =7930

Passo 5

Verificar a desigualdade de Schwarz:
lang<= p,qrang<=^2 =l(-tfrac6415r)^2 =4096225, lang<= p,prang<=,lang<= q,qrang<= =24130,cdot,7930 =19039900
Multiplicando ambos os lados por 900 obtemos
4096times4 =16384 e 19039,
e de fato
16384 <= 19039,
isto é
lang<= p,qrang<=^2 <= lang<= p,prang<=,lang<= q,qrang<=

Resposta

A desigualdade de Schwarz fica
llang<= p,qrrang<=^2 = 4096225 <= 19039900 =llang<= p,prrang<=llang<= q,qrrang<=,
confirmando que ela vale (estritamente) para esses polinômios.

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