Considere R^4 com o produto interno usual. Use o processo de Gram-Schmidt para transformar a base v1, v2, v3, v4 em uma base ortogonal, onde
v1=(0,2,1,0), v2=(1,-1,0,0), v3=(1,2,0,-1) e v4=(1,0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt na base
v1=(0,2,1,0), v2=(1,-1,0,0), v3=(1,2,0,-1), v4=(1,0,0,1)
em R^4 com o produto interno usual. Vamos produzir vetores
,u1,u2,u3,u4 ortogonais segundo as fórmulas
u1 = v1, uk = vk - sumj=1^k-1lang<= vk,ujrang<=lang<= uj,ujrang<=,uj

Passo 2

Primeiro vetor:
u1 = v1 = (0,2,1,0)

Passo 3

Definimos
u2 = v2 - lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1
Calculamos
lang<= v2,u1rang<= = -2 e lang<= u1,u1rang<= = 5,
logo
u2 = (1,-1,0,0) - l(-tfrac25r)(0,2,1,0) = l(1,,-1+tfrac45,,tfrac25,,0r) = l(1,-tfrac15,tfrac25,0r)

Passo 4

Agora
u3 = v3 - lang<= v3,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 - lang<= v3,u2rang<=lang<= u2,u2rang<=,u2
Calculamos em duas etapas:
1) lang<= v3,u1rang<= = 4, logo
w3 = v3 - tfrac45u1 = (1,2,0,-1)-l(0,tfrac85,tfrac45,0r) =(1,tfrac25,-tfrac45,-1)
2) lang<= w3,u2rang<= = tfrac35, lang<= u2,u2rang<= = tfrac65,
portanto
u3 = w3 - tfrac35tfrac65,u2 = w3 - tfrac12,u2 = l(1,tfrac25,-tfrac45,-1r) - tfrac12l(1,-tfrac15,tfrac25,0r) = l(tfrac12,tfrac12,-1,-1r)

Passo 5

Por fim,
u4 = v4 - sumj=1^3 lang<= v4,ujrang<=lang<= uj,ujrang<=,uj
1) lang<= v4,u1rang<==0, sem contribuição.
2) lang<= v4,u2rang<==1,;lang<= u2,u2rang<==tfrac65
dá correção tfrac56u2.
3) Sobre o resultado, projetamos em u3:
lang<=cdot,u3rang<==-tfrac12,;lang<= u3,u3rang<==2
dá correção -tfrac15u3.
Fazendo as contas, obtém-se
u4 = l(tfrac415,tfrac415,-tfrac815,tfrac45r) = tfrac415(1,1,-2,3)

Resposta

Uma base ortogonal obtida é
u1 = (0,2,1,0), u2 = l(1,-tfrac15,tfrac25,0r), u3 = l(tfrac12,tfrac12,-1,-1r), u4 = tfrac415(1,1,-2,3)

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