Mostre que as matrizes reais
formam um espaço vetorial com as operações de adição vetorial
e multiplicação por escalar
sobre o corpo dos reais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
com a adição
e a multiplicação por escalar
é um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos verificar as propriedades da definição de espaço vetorial: fechamento, comutatividade e associatividade da adição, existência de elemento neutro e inversos aditivos, além das propriedades da multiplicação por escalar (fechamento, distributividades, associatividade e elemento neutro escalar).
Passo 2
Fechamento sob adição e multiplicação por escalar. Se
então
continua sendo uma matriz
de entradas reais, logo
. De modo análogo, para
,
é também uma matriz
de entradas em
, logo
.
Passo 3
Comutatividade e associatividade da adição. Como a adição de matrizes é feita entrada a entrada, e a adição em
é comutativa e associativa, temos para quaisquer
:
Passo 4
Elemento neutro e inverso aditivo. Definimos a matriz zero
então
para todo
. O inverso aditivo de
é
pois
.
Passo 5
Propriedades da multiplicação por escalar. Para
e
valem:
Todas seguem diretamente das propriedades do corpo
aplicadas a cada entrada.
Resposta
Como todas as propriedades da definição de espaço vetorial (fechamento, comutatividade, associatividade, existência de zero, existência de inversos aditivos e leis da multiplicação por escalar) estão satisfeitas, concluímos que o conjunto de todas as matrizes reais
com as operações dadas é de fato um espaço vetorial sobre
.