Mostre que as matrizes reais 2 times 2 formam um espaço vetorial com as operações de adição vetorial
A+B=[ll a11+b11 & a12+b12 a21+b21 & a22+b22 ]
e multiplicação por escalar
alpha A=[ll alpha a11 & alpha a12 alpha a21 & alpha a22 ]
sobre o corpo dos reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
com a adição
e a multiplicação por escalar
é um espaço vetorial sobre . Para isso, vamos verificar as propriedades da definição de espaço vetorial: fechamento, comutatividade e associatividade da adição, existência de elemento neutro e inversos aditivos, além das propriedades da multiplicação por escalar (fechamento, distributividades, associatividade e elemento neutro escalar).

Passo 2

Fechamento sob adição e multiplicação por escalar. Se
então
continua sendo uma matriz de entradas reais, logo . De modo análogo, para ,
é também uma matriz de entradas em , logo .

Passo 3

Comutatividade e associatividade da adição. Como a adição de matrizes é feita entrada a entrada, e a adição em R é comutativa e associativa, temos para quaisquer A,B,Cin V:
A+B = B+A,
(A+B)+C = A+(B+C)

Passo 4

Elemento neutro e inverso aditivo. Definimos a matriz zero
então para todo . O inverso aditivo de
é
pois .

Passo 5

Propriedades da multiplicação por escalar. Para alpha,betainR e A,Bin V valem:
1cdot A = A,
(alpha+beta)A = alpha A + beta A,
alpha(A+B) = alpha A + alpha B,
(alphabeta)A = alpha(beta A)
Todas seguem diretamente das propriedades do corpo R aplicadas a cada entrada.

Resposta

Como todas as propriedades da definição de espaço vetorial (fechamento, comutatividade, associatividade, existência de zero, existência de inversos aditivos e leis da multiplicação por escalar) estão satisfeitas, concluímos que o conjunto de todas as matrizes reais 2times2 com as operações dadas é de fato um espaço vetorial sobre R.

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