Encontre os autovalores da matriz A=[cccc2 & 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 3 & 0 & 3 & 0 5 & 7 & 4 & -2]. Com base em seus autovalores, podemos afirmar que a matriz A é inversível? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores de
A = 2 & 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 3 & 0 & 3 & 0 5 & 7 & 4 & -2
e, com base neles, decidir se A é inversível. O conteúdo principal aqui é reconhecer que A é uma matriz triangular inferior, permitindo obter a característica de maneira direta.

Passo 2

Para achar os autovalores, lembramos que eles são as raízes do polinômio característico
det(A - lambda I) = 0
Como A é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), podemos usar a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos seus elementos diagonais.

Passo 3

Escrevendo A - lambda I, seus elementos diagonais ficam 2-lambda, 1-lambda, 3-lambda e -2-lambda. Logo
det(A - lambda I) = (2-lambda)(1-lambda)(3-lambda)(-2-lambda)

Passo 4

As raízes do polinômio característico são obtidas igualando cada fator a zero:
2-lambda=0,; 1-lambda=0,; 3-lambda=0,; -2-lambda=0,
portanto os autovalores são
lambda1 = 2, lambda2 = 1, lambda3 = 3, lambda4 = -2

Passo 5

Uma matriz é inversível se, e somente se, nenhum de seus autovalores for zero (ou equivalentemente, se o determinante for não nulo). Aqui o determinante é
det(A) = prodi=1^4 lambdai = 2cdot1cdot3cdot(-2) = -12 neq 0,
logo A é inversível.

Resposta

Os autovalores de A são
2,;1,;3,;-2
e, como nenhum deles é zero (ou seja, det(A)=-12neq0), a matriz A é inversível.

Exercícios relacionados