Considere que um produto pode estar com defeito (B), com defeito leve (D L) ou com defeito grave (D G). Seja a seguinte distribuição do lucro (em R ), por unidade vendida desse produto:
| Produto | ), por unidade vendida desse produto: | Produto | | | |
| :—: | :—: | :—: |
| | | :---: | :---: | :---: | | | 6 | | 6 | |
| | | | 0 | | 0 | |
| | | | -2 | | -2 | |
Calcule o valor esperado, a variância e o desvio padrão do lucro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um produto que pode estar em três situações diferentes: sem defeito (B), com defeito leve (D L) ou com defeito grave (D G). Cada uma dessas situações dá um lucro diferente quando vendemos o produto:
  • B: Lucro de R$6, com probabilidade de 7/10.
  • D L: Lucro de R$0, com probabilidade de 2/10.
  • D G: Lucro de -R$2, com probabilidade de 1/10.
Nosso objetivo aqui é calcular três coisas importantes sobre esse lucro: o valor esperado (ou média), a variância e o desvio padrão. Para isso, vamos usar alguns conceitos de probabilidade e estatística relacionados a variáveis aleatórias discretas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado (E[X]), que é basicamente a média ponderada dos lucros possíveis, levando em conta as probabilidades de cada situação. A fórmula é:
E[X] = sum x cdot p(x)
Onde:
  • $ x $ é o lucro em cada caso.
  • $ p(x) $ é a probabilidade de cada caso.
Vamos calcular isso passo a passo:
x
p(x)
Então, o valor esperado do lucro é R$4.

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância (Var(X)), que nos mostra o quanto o lucro pode variar em torno do valor esperado. A fórmula é:
Var(X) = sum (x - E[X])^2 cdot p(x)
Já sabemos que $ E[X] = 4 $. Vamos calcular cada parte:
  1. Para B:
E[X] = 4
  1. Para D L:
(6 - 4)^2 cdot 710 = (2)^2 cdot 710 = 4 cdot 0,7 = 2,8
  1. Para D G:
(0 - 4)^2 cdot 210 = (-4)^2 cdot 210 = 16 cdot 0,2 = 3,2
Agora somamos tudo:
(-2 - 4)^2 cdot 110 = (-6)^2 cdot 110 = 36 cdot 0,1 = 3,6
Então, a variância do lucro é 9,6.

Passo 4

Por fim, vamos calcular o desvio padrão (σ), que é a raiz quadrada da variância. Isso nos dá uma ideia de quanto, em média, o lucro pode desviar do valor esperado.
σ = raizVar(X) = raiz9,6 approx 3,1
Então, o desvio padrão do lucro é aproximadamente 3,1.

Resposta

  • Valor Esperado (E[X]): R$4
  • Variância (Var(X)): 9,6
  • Desvio Padrão (σ): 3,1

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