Considere que um produto pode estar com defeito
, com defeito leve
ou com defeito grave
. Seja a seguinte distribuição do lucro (em
), por unidade vendida desse produto:
| Produto |
|
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| :—: | :—: | :—: |
|
| 6 |
|
|
| 0 |
|
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| -2 |
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Calcule o valor esperado, a variância e o desvio padrão do lucro.
| Produto |
| :—: | :—: | :—: |
|
|
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Calcule o valor esperado, a variância e o desvio padrão do lucro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um produto que pode estar em três situações diferentes: sem defeito (B), com defeito leve (D L) ou com defeito grave (D G). Cada uma dessas situações dá um lucro diferente quando vendemos o produto:
- B: Lucro de R$6, com probabilidade de 7/10.
- D L: Lucro de R$0, com probabilidade de 2/10.
- D G: Lucro de -R$2, com probabilidade de 1/10.
Nosso objetivo aqui é calcular três coisas importantes sobre esse lucro: o valor esperado (ou média), a variância e o desvio padrão. Para isso, vamos usar alguns conceitos de probabilidade e estatística relacionados a variáveis aleatórias discretas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor esperado (E[X]), que é basicamente a média ponderada dos lucros possíveis, levando em conta as probabilidades de cada situação. A fórmula é:
Onde:
- $ x $ é o lucro em cada caso.
- $ p(x) $ é a probabilidade de cada caso.
Vamos calcular isso passo a passo:
Então, o valor esperado do lucro é R$4.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância (Var(X)), que nos mostra o quanto o lucro pode variar em torno do valor esperado. A fórmula é:
Já sabemos que $ E[X] = 4 $. Vamos calcular cada parte:
- Para B:
- Para D L:
- Para D G:
Agora somamos tudo:
Então, a variância do lucro é 9,6.
Passo 4
Por fim, vamos calcular o desvio padrão (σ), que é a raiz quadrada da variância. Isso nos dá uma ideia de quanto, em média, o lucro pode desviar do valor esperado.
Então, o desvio padrão do lucro é aproximadamente 3,1.
Resposta
- Valor Esperado (E[X]): R$4
- Variância (Var(X)): 9,6
- Desvio Padrão (σ): 3,1