Considere que um produto pode estar com defeito (B), com defeito leve (D L) ou com defeito grave (D G). Seja a seguinte distribuição do lucro (em R ), por unidade vendida desse produto:
| Produto | ), por unidade vendida desse produto: | Produto | | | |
| :—: | :—: | :—: |
| | | :---: | :---: | :---: | | | 6 | | 6 | |
| | | | 0 | | 0 | |
| | | | -2 | | -2 | |
Se, com a redução de desperdícios, foi possível aumentar uma unidade no lucro de cada unidade do produto, qual é o novo valor esperado, variância e desvio padrão do lucro por unidade?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem um produto que pode estar em três situações diferentes: sem defeito ( B), com defeito leve ( D L) ou com defeito grave ( D G). Cada uma dessas situações tem uma probabilidade e um lucro associado. A melhoria feita aumentou o lucro de cada unidade em 1 real. Nosso objetivo é encontrar o novo valor esperado (que é tipo a média ponderada dos lucros), a variância (que mede a dispersão dos lucros em relação à média) e o desvio padrão (a raiz quadrada da variância, que também indica a dispersão). Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística básica como esperança matemática, variância e desvio padrão de variáveis aleatórias discretas.

Passo 2

Primeiro, vamos ajustar os lucros de cada situação aumentando 1 real, como a questão pediu. Então, temos:
  • Sem defeito ( B): 6 + 1 = 7 R$
  • Defeito leve ( - **Defeito <=ve (): ):** R$
  • Defeito grave ( R): D G R$
Agora, nossa nova tabela de lucros fica assim:
Produto -2 + 1 = -1 Agora, nossa nova tabela de lucros fica assim: | Produto |
| 7 | | :---: | :---: | :---: | |
| 7 | 1 | |
| 1 | -1 | |

Passo 3

Vamos calcular o valor esperado (ou esperança matemática) do lucro por unidade. A fórmula para isso é:
E(X) = sumi xi cdot p(xi)
Onde xi são os lucros e p(xi) são as probabilidades respectivas. Aplicando os valores:
E(X) = 7 cdot 710 + 1 cdot 210 + (-1) cdot 110
Fazendo as contas:
E(X) = 4910 + 210 - 110 = 5010 = 5
Então, o valor esperado do lucro por unidade é 5 R$.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância do lucro por unidade. A variância indica o quanto os lucros variam em relação ao valor esperado. A fórmula é:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Primeiro, vamos calcular E(X^2):
E(X^2) = 7^2 cdot 710 + 1^2 cdot 210 + (-1)^2 cdot 110
Calculando:
E(X^2) = 49 cdot 710 + 1 cdot 210 + 1 cdot 110 = 34310 + 210 + 110 = 34610 = 34.6
Agora, aplicamos na fórmula da variância:
Var(X) = 34.6 - 5^2 = 34.6 - 25 = 9.6
Então, a variância é 9.6.

Passo 5

Por fim, o desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância. Ele também mede a dispersão dos lucros, mas na mesma unidade do lucro (R$).
)
Então, o desvio padrão é aproximadamente 3.098.

Resposta

O novo valor esperado do lucro por unidade é 5 R$, a variância é 9.6, e o desvio padrão é aproximadamente 3.098.

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