Considere que um produto pode estar com defeito
, com defeito leve
ou com defeito grave
. Seja a seguinte distribuição do lucro (em
), por unidade vendida desse produto:
| Produto |
|
|
| :—: | :—: | :—: |
|
| 6 |
|
|
| 0 |
|
|
| -2 |
|
Se, com a redução de desperdícios, foi possível aumentar uma unidade no lucro de cada unidade do produto, qual é o novo valor esperado, variância e desvio padrão do lucro por unidade?
| Produto |
| :—: | :—: | :—: |
|
|
|
Se, com a redução de desperdícios, foi possível aumentar uma unidade no lucro de cada unidade do produto, qual é o novo valor esperado, variância e desvio padrão do lucro por unidade?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem um produto que pode estar em três situações diferentes: sem defeito (
), com defeito leve (
) ou com defeito grave (
). Cada uma dessas situações tem uma probabilidade e um lucro associado. A melhoria feita aumentou o lucro de cada unidade em 1 real. Nosso objetivo é encontrar o novo valor esperado (que é tipo a média ponderada dos lucros), a variância (que mede a dispersão dos lucros em relação à média) e o desvio padrão (a raiz quadrada da variância, que também indica a dispersão). Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística básica como esperança matemática, variância e desvio padrão de variáveis aleatórias discretas.
Passo 2
Primeiro, vamos ajustar os lucros de cada situação aumentando 1 real, como a questão pediu. Então, temos:
- Sem defeito (
): R$ - Defeito leve (
): R$ - Defeito grave (
): R$
Agora, nossa nova tabela de lucros fica assim:
Produto |
|
|
---|---|---|
|
7 |
|
|
1 |
|
|
-1 |
|
Passo 3
Vamos calcular o valor esperado (ou esperança matemática) do lucro por unidade. A fórmula para isso é:
Onde
são os lucros e
são as probabilidades respectivas. Aplicando os valores:
Fazendo as contas:
Então, o valor esperado do lucro por unidade é 5 R$.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância do lucro por unidade. A variância indica o quanto os lucros variam em relação ao valor esperado. A fórmula é:
Primeiro, vamos calcular
:
Calculando:
Agora, aplicamos na fórmula da variância:
Então, a variância é 9.6.
Passo 5
Por fim, o desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância. Ele também mede a dispersão dos lucros, mas na mesma unidade do lucro (R$).
Então, o desvio padrão é aproximadamente 3.098.
Resposta
O novo valor esperado do lucro por unidade é 5 R$, a variância é 9.6, e o desvio padrão é aproximadamente 3.098.