Suponha que a variável aleatória discreta
tome os valores 1,2 e 3 , com probabilidades
,
e
, respectivamente. Ache a distribuição de probabilidade de:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória discreta $ X $ que pode ser 1, 2 ou 3, com probabilidades $ \frac{1}{2} $, $ \frac{1}{4} $ e $ \frac{1}{4} $ respectivamente. A parada é achar a distribuição de probabilidade de uma nova variável $ Z $ que é definida por $ Z = (X - 1)^2 $. Vamos precisar entender como transformar uma variável aleatória em outra e calcular as novas probabilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os possíveis valores que $ Z $ pode assumir. Como $ Z = (X - 1)^2 $, vamos calcular isso para cada valor de $ X $:
- Se $ X = 1 $: $ Z = (1 - 1)^2 = 0 $
- Se $ X = 2 $: $ Z = (2 - 1)^2 = 1 $
- Se $ X = 3 $: $ Z = (3 - 1)^2 = 4 $
Então, $ Z $ pode ser 0, 1 ou 4.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de $ Z $. A ideia é ver qual a probabilidade de $ X $ assumir um valor que resulte em cada $ Z $:
- $ P(Z = 0) $: Isso acontece quando $ X = 1 $, que tem probabilidade $ \frac{1}{2} $.
- $ P(Z = 1) $: Isso acontece quando $ X = 2 $, que tem probabilidade $ \frac{1}{4} $.
- $ P(Z = 4) $: Isso acontece quando $ X = 3 $, que tem probabilidade $ \frac{1}{4} $.
Passo 4
Vamos resumir a distribuição de $ Z $ juntando os valores e suas respectivas probabilidades:
Resposta
A distribuição de probabilidade de $ Z = (X - 1)^2 $ é: