Os númeres de três algarismos
e
estão escritos em ordem invertida. Sabendo que
e que
, quantos são os possiveis valores de
?
(A) 20 .
(B) 30 .
© 40 .
(D) 50
(E) 60 .
(A) 20 .
(B) 30 .
© 40 .
(D) 50
(E) 60 .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: Temos dois números de três algarismos, $ M = abc $ e $ N = cba $, onde os dígitos estão invertidos. Sabemos que $ a > 4 $ e que a diferença entre esses números é 198 ($ M - N = 198 $). Nosso objetivo é descobrir quantos valores diferentes $ M $ pode ter.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como representar esses números de forma matemática. O número $ M = abc $ pode ser escrito como:
Já o número $ N = cba $ é:
Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ representam os algarismos das centenas, dezenas e unidades, respectivamente.
Passo 3
Sabemos que a diferença entre $ M $ e $ N $ é 198:
Substituindo as expressões de $ M $ e $ N $:
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, podemos dividir toda a equação por 99 para simplificar:
Isso nos diz que o dígito das centenas $ a $ é 2 unidades maior que o dígito das unidades $ c $:
Passo 6
Lembrando que $ a > 4 $, vamos identificar os possíveis valores para $ a $ e $ c $:
- Se $ a = 5 $, então $ c = 3 $
- Se $ a = 6 $, então $ c = 4 $
- Se $ a = 7 $, então $ c = 5 $
- Se $ a = 8 $, então $ c = 6 $
- Se $ a = 9 $, então $ c = 7 $
Isso nos dá 5 pares possíveis para $ (a, c) $.
Passo 7
O dígito das dezenas $ b $ pode ser qualquer número de 0 a 9, já que não há restrições mencionadas para ele.
Passo 8
Para cada par $ (a, c) $, temos 10 possibilidades para $ b $. Portanto, o número total de valores possíveis para $ M $ é: