Os númeres de três algarismos M=a b c e N=c b a estão escritos em ordem invertida. Sabendo que a>4 e que M-N=198, quantos são os possiveis valores de M ?
(A) 20 .
(B) 30 .
© 40 .
(D) 50
(E) 60 .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: Temos dois números de três algarismos, $ M = abc $ e $ N = cba $, onde os dígitos estão invertidos. Sabemos que $ a > 4 $ e que a diferença entre esses números é 198 ($ M - N = 198 $). Nosso objetivo é descobrir quantos valores diferentes $ M $ pode ter.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como representar esses números de forma matemática. O número $ M = abc $ pode ser escrito como:
M = abc
Já o número $ N = cba $ é:
M = 100a + 10b + c
Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ representam os algarismos das centenas, dezenas e unidades, respectivamente.

Passo 3

Sabemos que a diferença entre $ M $ e $ N $ é 198:
M
Substituindo as expressões de $ M $ e $ N $:
N

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 198
Agrupando os termos semelhantes:
(100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c) = 198
99a - 99c = 198

Passo 5

Agora, podemos dividir toda a equação por 99 para simplificar:
a - c = 2
Isso nos diz que o dígito das centenas $ a $ é 2 unidades maior que o dígito das unidades $ c $:
a

Passo 6

Lembrando que $ a > 4 $, vamos identificar os possíveis valores para $ a $ e $ c $:
  • Se $ a = 5 $, então $ c = 3 $
  • Se $ a = 6 $, então $ c = 4 $
  • Se $ a = 7 $, então $ c = 5 $
  • Se $ a = 8 $, então $ c = 6 $
  • Se $ a = 9 $, então $ c = 7 $
Isso nos dá 5 pares possíveis para $ (a, c) $.

Passo 7

O dígito das dezenas $ b $ pode ser qualquer número de 0 a 9, já que não há restrições mencionadas para ele.

Passo 8

Para cada par $ (a, c) $, temos 10 possibilidades para $ b $. Portanto, o número total de valores possíveis para $ M $ é:
(a, c)

Resposta

Exercícios relacionados