Mostre explicitamente que a trajetória de um projétil lançado a partir do solo fazendo um ângulo theta em relação à horizontal é uma parábolo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer mostrar que o caminho que um projétil faz quando é lançado do chão formando um ângulo theta com a horizontal é uma parábola. Isso faz parte da matéria de Movimento em Duas Dimensões na física. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações de movimento tanto na direção horizontal quanto na vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial do projétil em suas componentes horizontal e vertical. Se a velocidade inicial é v0, então:
  • Componente horizontal: v0x = v0 costheta
  • Componente vertical: v0y = v0 sintheta
Essas componentes nos ajudam a analisar o movimento em cada direção separadamente.

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações de posição para as direções horizontal ( x) e vertical ( y) em função do tempo t.
  • Posição horizontal:
    Como não há aceleração na horizontal (desconsiderando o atrito do ar), a posição horizontal é:
x(t) = v0x cdot t = v0 costheta cdot t
  • Posição vertical:
    Na vertical, temos a aceleração da gravidade ( g) atuando para baixo. A posição vertical é dada por:
y(t) = v0y cdot t - 12 g t^2 = v0 sintheta cdot t - 12 g t^2

Passo 4

O próximo passo é eliminar o tempo t dessas duas equações para encontrar uma relação direta entre y e x. Da equação horizontal:
t = xv0 costheta
Substituímos esse valor de t na equação vertical:
y = v0 sintheta cdot ( xv0 costheta ) - 12 g ( xv0 costheta )^2
Simplificando:
y = x tantheta - g x^22 v0^2 cos^2theta

Passo 5

Observe que a equação final para y em função de x é:
y = x tantheta - g2 v0^2 cos^2theta x^2
Essa é uma equação quadrática na forma y = ax^2 + bx + c, onde a = -g2 v0^2 cos^2theta, b = tantheta, e c = 0. Uma equação quadrática desse tipo representa uma parábola.

Resposta

Portanto, mostramos que a trajetória do projétil é uma parábola, já que a relação entre y e x é uma função quadrática.

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