m \frac{d^{2} \vec{r}}{d t^{2}}=-m g \hat{k}-b \frac{d \vec{r}}{d t}
a). Determine a altura máxima H_{\text {max }} alcançada pelo projétil.
b). Determine a equação da trajetória do projetil no plano x z, z(x). Verifique a sua resposta do ítem anterior, que z=H_{\text {max }} é um ponto de máximo da curva z(x).
Passo 1
O enunciado dá a equação vetorial do movimento com resistência linear:
m\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}=-m g \,\hat{k}-b\frac{d\vec{r}}{dt}.
Queremos: (a) a altura máxima H_{\text{max}} atingida pelo projétil; (b) a equação da trajetória no plano x\!-\!z, isto é z(x), e verificar que z=H_{\text{max}} corresponde a um máximo de z(x).
Informações / hipóteses que vou usar (não foram explicitadas no enunciado, mas são padrão para este tipo de problema):
Ou seja, o lançamento ocorre na origem e o vetor velocidade inicial tem componentes horizontais \,v_{0x}\, e verticais \,v_{0z}\,. Vou trabalhar no plano x\!-\!z (sem componente em y). Defino também
onde V_t é a velocidade terminal (valor típico usado para simplificar expressões). Em todo o desenvolvimento cada símbolo será explicado quando aparecer.
Passo 2
Separei a equação vetorial nas componentes x e z. Para x (eixo horizontal) não há força de gravidade:
m\ddot{z}=-m g - b\dot{z}\quad\Longrightarrow\quad \ddot{z}+\alpha\dot{z}+g=0.
É melhor trabalhar com v_z=\dot{z}. Temos a equação de 1ª ordem:
\dot{v}_z+\alpha v_z=-g.
Isto é uma linear não-homogênea. Solução geral: solução complementar C e^{-\alpha t} e solução particular constante v_z^{(p)}=-\dfrac{g}{\alpha}=-V_t. Aplicando a condição inicial v_z(0)=v_{0z} obtém-se
v_z(t)=(v_{0z}+V_t)e^{-\alpha t}-V_t.
Explico em palavras: a velocidade vertical decai exponencialmente da condição inicial até o valor estacionário -V_t (queda terminal para movimentos descendentes).
Passo 4
Integro v_z(t) para obter z(t). Com z(0)=0,
z(t)=\int_0^t \bigl((v_{0z}+V_t)e^{-\alpha s}-V_t\bigr)\,ds =(v_{0z}+V_t)\frac{1-e^{-\alpha t}}{\alpha}-V_t t.
Usando \alpha=b/m e V_t=mg/b esta forma é equivalente a
Substituo t_* em z(t) para obter H_{\text{max}}=z(t_*). Usando a expressão de z(t) e a igualdade e^{-\alpha t_*}=V_t/(v_{0z}+V_t), calculemos passo a passo a simplificação:
Podemos reescrever em termos de m,b,g se preferir, lembrando \alpha=b/m e V_t=mg/b, então V_t/\alpha=m^2 g/b^2.
Observação sobre domínio: a expressão exige 1-\dfrac{\alpha x}{v_{0x}}>0, ou seja x<\dfrac{v_{0x}}{\alpha}=\dfrac{m}{b}v_{0x}. Isso corresponde ao limite t\to\infty (posição horizontal assintótica) e não causa problema enquanto consideramos a parte física da trajetória até o pouso.
Passo 8
Verificação de que z=H_{\text{max}} é um ponto de máximo da curva z(x).
pois g>0 e v_x(t_*) é finito e não nulo. Assim a curvatura é negativa e z(x) tem um máximo em x_* correspondente a t_*. Para completar, o valor de x_* pode ser obtido substituindo t_* em x(t) ou usando e^{-\alpha t_*}=V_t/(v_{0z}+V_t):