. (Symon 3.33) Um projétil é disparado da origem num plano x z (o eixo z é vertical) com uma velocidade inicial \vec{v}_{0} para atingir um alvo no ponto x=x_{0}, z=0.
a) Desprezando a resistência do ar, determine o ângulo de elevação correto para o canhão. Mostre que, em geral, existem dois ângulos que satisfazem esta condição, a não ser que o alvo esteja no ponto de alcance máximo ou além dele.
b) Determine a correção de primeira ordem para o ângulo de elevação devido à resistência do ar.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece as seguintes informações:
Pedido (a): Desprezando resistência do ar, determinar o ângulo de elevação correto para que um projétil lançado da origem com velocidade inicial \vec{v}_0 atinja o alvo em x=x_0,\, z=0. Mostrar que, em geral, existem dois ângulos que satisfazem essa condição, salvo o caso do alcance máximo ou além dele.
Pedido (b): Determinar a correção de primeira ordem para o ângulo de elevação quando se leva em conta a resistência do ar.
Informações dadas (explicitadas):
O movimento ocorre no plano x z com z vertical para cima.
A velocidade inicial tem módulo v_0. O ângulo de elevação que procuramos chamaremos de \theta (medido acima do eixo x).
A gravidade é \,g apontando para baixo.
Para a correção de primeira ordem devido à resistência do ar, o enunciado não especifica a forma exata da resistência; vou adotar o modelo linear (força de arrasto proporcional à velocidade), que é o modelo habitual para obter correção perturbativa simples. Vou definir a constante de arrasto por unidade de massa como \gamma (ou seja, a aceleração de arrasto é -\gamma \vec{v}). Essa escolha será usada em todo o item (b). Não vou assumir nada mais além de \gamma pequeno (expansão em série em \gamma).
Passo 2
Resolução do item (a) — caso sem resistência do ar, derivação passo a passo da fórmula do alcance.
Separar componentes da velocidade inicial: [,v_{0x}=v_0\cos\theta) e \,v_{0z}=v_0\sin\theta.
Equações do movimento (sem arrasto):
\begin{cases} \dot x(t)=v_{x}(t)=v_0\cos\theta \quad\Rightarrow\quad x(t)=v_0\cos\theta\;t,\\[6pt] \dot z(t)=v_{z}(t)=v_0\sin\theta - g t \quad\Rightarrow\quad z(t)=v_0\sin\theta\;t - \dfrac{1}{2} g t^2. \end{cases}
Explicando: a componente horizontal não sofre aceleração (sem resistência), então é constante; a vertical tem aceleração constante (-g], integrar dá a posição vertical.
Determinar o tempo de voo T impondo z(T)=0 com T>0:
v_0\sin\theta\;T - \dfrac{1}{2} g T^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad T\left(v_0\sin\theta - \dfrac{1}{2} g T\right)=0,
Resolver para \theta. Se denotarmos S=\dfrac{g x_0}{v_0^2}, então precisamos de \sin(2\theta)=S. Se S>1 não há solução (alvo fora do alcance máximo), se S=1 há solução única 2\theta=\dfrac{\pi}{2} i.e. \theta=\dfrac{\pi}{4}, e se 0\le S<1 há duas soluções:
2\theta = \arcsin S \quad\text{ou}\quad 2\theta = \pi - \arcsin S.
Comentário intuitivo: são o ângulo baixo e o ângulo alto que dão o mesmo alcance (por exemplo, lançar rasante com muita velocidade ou mais alto mas mais tempo no ar). No caso x_0 igual ao alcance máximo \dfrac{v_0^2}{g} (isto é S=1) as duas soluções coincidem em \theta=\pi/4.]
Passo 3
Preparação para o item (b) — escolher o modelo de resistência e a estratégia de solução.
Modelo de resistência: escolho arrasto linear com a forma da força \vec{F}_d = -b \vec{v}. Dividindo por m (massa do projétil) escrevemos a aceleração de arrasto -\gamma \vec{v} com
\gamma \equiv \dfrac{b}{m}.
Esse modelo é matematicamente simples e apropriado para fazer expansão em série para \gamma pequeno (primeira ordem). Se a resistência fosse proporcional a v^2, a conta seria mais complicada e não renderia uma correção linear tão direta.
Estrutura da solução: resolver as EDOs com arrasto linear exatamente (essas EDOs são integráveis), obter x(T) como função de \theta e \gamma, expandir em série para \gamma pequeno e impor a condição x(T)=x_0. Em seguida fazer expansão perturbativa \theta=\theta_0+\gamma\theta_1+\cdots e achar \theta_1 (correção de primeira ordem).
Passo 4
Equações com arrasto linear e solução das componentes (integração passo a passo).
Equações de movimento (por unidade de massa) com arrasto linear:
Interpretando a correção completa: lembrando que a expansão que usamos foi \theta = \theta_0 + \gamma \theta_1 + O(\gamma^2), a correção de primeira ordem ao ângulo é
A fórmula vale quando \cos(2\theta_0)\neq 0. No caso \cos(2\theta_0)=0 (isto é \theta_0=\pi/4, alcance máximo), o denominador some e a expansão na vizinhança desse ponto precisa ser tratada separadamente (a pequena mudança no alcance exige mudança de ordem diferente no ângulo).
Há duas soluções \theta_0 sem arrasto (ângulo baixo e ângulo alto); cada uma recebe sua correção \Delta\theta calculada pela mesma expressão, usando o valor correspondente de \theta_0. Note que o sinal de \Delta\theta pode ser positivo ou negativo dependendo do sinal de \cos(2\theta_0): para \theta_0<\pi/4 (\cos2\theta_0>0) a correção é positiva (é preciso aumentar o ângulo), para \theta_0>\pi/4 (\cos2\theta_0<0) a correção é negativa (reduz-se o ângulo alto) — isso é compatível com a ideia de que o arrasto diminui o alcance e cada solução deve ser ajustada na direção que compense essa perda.
Resposta
(a) \displaystyle \theta=\dfrac{1}{2}\arcsin\!\left(\dfrac{g x_0}{v_0^2}\right)\quad\text{ou}\quad \displaystyle \theta=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}\arcsin\!\left(\dfrac{g x_0}{v_0^2}\right) (não há solução se \dfrac{g x_0}{v_0^2}>1; se \dfrac{g x_0}{v_0^2}=1 há solução única \theta=\pi/4).\n\n(b) Adotando arrasto linear por unidade de massa \gamma=b/m e sendo \theta_0 a solução sem arrasto (satisfazendo \sin(2\theta_0)=g x_0/v_0^2), a correção de primeira ordem é