. (Symon 3.33) Um projétil é disparado da origem num plano x z (o eixo z é vertical) com uma velocidade inicial \vec{v}_{0} para atingir um alvo no ponto x=x_{0}, z=0.
a) Desprezando a resistência do ar, determine o ângulo de elevação correto para o canhão. Mostre que, em geral, existem dois ângulos que satisfazem esta condição, a não ser que o alvo esteja no ponto de alcance máximo ou além dele.
b) Determine a correção de primeira ordem para o ângulo de elevação devido à resistência do ar.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece as seguintes informações:
  • Pedido (a): Desprezando resistência do ar, determinar o ângulo de elevação correto para que um projétil lançado da origem com velocidade inicial \vec{v}_0 atinja o alvo em x=x_0,\, z=0. Mostrar que, em geral, existem dois ângulos que satisfazem essa condição, salvo o caso do alcance máximo ou além dele.
  • Pedido (b): Determinar a correção de primeira ordem para o ângulo de elevação quando se leva em conta a resistência do ar.
Informações dadas (explicitadas):
  • O movimento ocorre no plano x z com z vertical para cima.
  • A velocidade inicial tem módulo v_0. O ângulo de elevação que procuramos chamaremos de \theta (medido acima do eixo x).
  • A gravidade é \,g apontando para baixo.
  • Para a correção de primeira ordem devido à resistência do ar, o enunciado não especifica a forma exata da resistência; vou adotar o modelo linear (força de arrasto proporcional à velocidade), que é o modelo habitual para obter correção perturbativa simples. Vou definir a constante de arrasto por unidade de massa como \gamma (ou seja, a aceleração de arrasto é -\gamma \vec{v}). Essa escolha será usada em todo o item (b). Não vou assumir nada mais além de \gamma pequeno (expansão em série em \gamma).

Passo 2

Resolução do item (a) — caso sem resistência do ar, derivação passo a passo da fórmula do alcance.
  1. Separar componentes da velocidade inicial: [,v_{0x}=v_0\cos\theta) e \,v_{0z}=v_0\sin\theta.
  2. Equações do movimento (sem arrasto):
\begin{cases} \dot x(t)=v_{x}(t)=v_0\cos\theta \quad\Rightarrow\quad x(t)=v_0\cos\theta\;t,\\[6pt] \dot z(t)=v_{z}(t)=v_0\sin\theta - g t \quad\Rightarrow\quad z(t)=v_0\sin\theta\;t - \dfrac{1}{2} g t^2. \end{cases}
Explicando: a componente horizontal não sofre aceleração (sem resistência), então é constante; a vertical tem aceleração constante (-g], integrar dá a posição vertical.
  1. Determinar o tempo de voo T impondo z(T)=0 com T>0:
v_0\sin\theta\;T - \dfrac{1}{2} g T^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad T\left(v_0\sin\theta - \dfrac{1}{2} g T\right)=0,
tomando a solução não-trivial,
T_0 = \dfrac{2 v_0 \sin\theta}{g}.
  1. Alcance horizontal x(T_0):
x = v_0\cos\theta\;T_0 = v_0\cos\theta \cdot \dfrac{2 v_0 \sin\theta}{g} = \dfrac{v_0^2}{g}\, \sin(2\theta).
Aqui usei a identidade trigonométrica \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
  1. Impor que o alcance seja x_0:
\dfrac{v_0^2}{g}\, \sin(2\theta) = x_0 \quad\Rightarrow\quad \sin(2\theta) = \dfrac{g x_0}{v_0^2}.
  1. Resolver para \theta. Se denotarmos S=\dfrac{g x_0}{v_0^2}, então precisamos de \sin(2\theta)=S. Se S>1 não há solução (alvo fora do alcance máximo), se S=1 há solução única 2\theta=\dfrac{\pi}{2} i.e. \theta=\dfrac{\pi}{4}, e se 0\le S<1 há duas soluções:
2\theta = \arcsin S \quad\text{ou}\quad 2\theta = \pi - \arcsin S.
Assim,
\theta = \dfrac{1}{2}\arcsin\!\left(\dfrac{g x_0}{v_0^2}\right) \quad\text{ou}\quad \theta = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{2}\arcsin\!\left(\dfrac{g x_0}{v_0^2}\right).
Comentário intuitivo: são o ângulo baixo e o ângulo alto que dão o mesmo alcance (por exemplo, lançar rasante com muita velocidade ou mais alto mas mais tempo no ar). No caso x_0 igual ao alcance máximo \dfrac{v_0^2}{g} (isto é S=1) as duas soluções coincidem em \theta=\pi/4.]

Passo 3

Preparação para o item (b) — escolher o modelo de resistência e a estratégia de solução.
  1. Modelo de resistência: escolho arrasto linear com a forma da força \vec{F}_d = -b \vec{v}. Dividindo por m (massa do projétil) escrevemos a aceleração de arrasto -\gamma \vec{v} com
\gamma \equiv \dfrac{b}{m}.
Esse modelo é matematicamente simples e apropriado para fazer expansão em série para \gamma pequeno (primeira ordem). Se a resistência fosse proporcional a v^2, a conta seria mais complicada e não renderia uma correção linear tão direta.
  1. Estrutura da solução: resolver as EDOs com arrasto linear exatamente (essas EDOs são integráveis), obter x(T) como função de \theta e \gamma, expandir em série para \gamma pequeno e impor a condição x(T)=x_0. Em seguida fazer expansão perturbativa \theta=\theta_0+\gamma\theta_1+\cdots e achar \theta_1 (correção de primeira ordem).

Passo 4

Equações com arrasto linear e solução das componentes (integração passo a passo).
Equações de movimento (por unidade de massa) com arrasto linear:
\begin{cases} \dot v_x = -\gamma v_x,\\[4pt] \dot v_z = -g - \gamma v_z. \end{cases}
Resolver v_x: é EDO linear simples com solução
v_x(t) = v_0\cos\theta \; e^{-\gamma t}.
Integrando para obter x(t) (com x(0)=0):
x(t)=\int_0^t v_x(s)\,ds = v_0\cos\theta \int_0^t e^{-\gamma s} ds = \dfrac{v_0\cos\theta}{\gamma}\left(1-e^{-\gamma t}\right).
Resolver v_z: é EDO linear não-homogênea. Usamos fator integrante:
\dot v_z + \gamma v_z = -g.
Multiplicando por e^{\gamma t} e integrando,
\dfrac{d}{dt}\big(e^{\gamma t} v_z\big) = -g e^{\gamma t} \quad\Rightarrow\quad e^{\gamma t} v_z(t) = v_0\sin\theta - g\dfrac{e^{\gamma t}-1}{\gamma}.
Logo
v_z(t) = v_0\sin\theta\; e^{-\gamma t} - \dfrac{g}{\gamma}\left(1-e^{-\gamma t}\right).
Integrando para z(t) com z(0)=0:
z(t) = \int_0^t v_z(s)\,ds = \dfrac{v_0\sin\theta + g/\gamma}{\gamma}\left(1-e^{-\gamma t}\right) - \dfrac{g}{\gamma} t.
(Verificação: derivando volta-se ao v_z acima.)]

Passo 5

Determinação do tempo de voo T até z(T)=0 e expansão em potência de \gamma.
Condição de impacto vertical:
z(T)=0 \quad\Longrightarrow\quad \left(v_0\sin\theta + \dfrac{g}{\gamma}\right)\left(1-e^{-\gamma T}\right) = g T.
Essa equação é exata (não fechamos explicitamente para T em termos elementares), mas podemos expandir para \gamma pequeno. Definimos a expansão:
T = T_0 + \gamma T_1 + O(\gamma^2),
onde T_0 é o tempo de voo sem arrasto, já conhecido:
T_0 = \dfrac{2 v_0 \sin\theta}{g}.
Agora expandimos a equação de z(T)=0 em séries de \gamma. Primeiro usamos a expansão exponencial
1-e^{-\gamma T} = \gamma T - \dfrac{\gamma^2 T^2}{2} + O(\gamma^3).
Inserindo na equação:
\left(v_0\sin\theta + \dfrac{g}{\gamma}\right)\left(\gamma T - \dfrac{\gamma^2 T^2}{2} + \cdots\right) = g T.
Multiplicando e recolhendo termos até ordem \gamma^1 (dividindo se necessário por \gamma para facilitar), obtemos a condição, até ordem \gamma,
v_0\sin\theta\;T - \dfrac{1}{2} v_0\sin\theta\;\gamma T^2 - \dfrac{1}{2} g \gamma T^2 + O(\gamma^2) = 0
após cancelar o termo gT que aparece dos dois lados. Agora substituímos T=T_0+\gamma T_1 e coletamos ordens:
  • Ordem \gamma^0: dá
v_0\sin\theta\;T_0 - \dfrac{1}{2} g T_0^2 = 0,
que leva a T_0 = 2 v_0\sin\theta / g (confirmando o que já tínhamos).
  • Ordem \gamma^1: (detalhando os termos)
v_0\sin\theta\;T_1 - \dfrac{1}{2} v_0\sin\theta\;T_0^2 - g T_0 T_1 = 0.
Agrupando T_1:
T_1\big(v_0\sin\theta - g T_0\big) = \dfrac{1}{2} v_0\sin\theta\;T_0^2.
Usando g T_0 = 2 v_0 \sin\theta obtemos v_0\sin\theta - g T_0 = - v_0\sin\theta. Então
- v_0\sin\theta\;T_1 = \dfrac{1}{2} v_0\sin\theta\;T_0^2 \quad\Rightarrow\quad T_1 = -\dfrac{1}{2} T_0^2.
Portanto, até primeira ordem em \gamma,
T = T_0 + \gamma T_1 + O(\gamma^2) = T_0 - \gamma \dfrac{T_0^2}{2} + O(\gamma^2),
com T_0 = \dfrac{2 v_0 \sin\theta}{g}.
Comentário físico: a correção \gamma T_1 é negativa — o arrasto reduz o tempo de voo.

Passo 6

Expansão do alcance x(T), imposição x(T)=x_0 e obtenção da correção ao ângulo \theta.
  1. Expressão exata para x(T) é
x(T) = \dfrac{v_0\cos\theta}{\gamma}\left(1-e^{-\gamma T}\right).
Expandindo para pequeno \gamma (usar 1-e^{-\gamma T}=\gamma T - \dfrac{\gamma^2 T^2}{2}+\cdots):
x(T) = v_0\cos\theta\left(T - \dfrac{\gamma T^2}{2} + O(\gamma^2)\right).
  1. Substituir T=T_0+\gamma T_1 e manter termos até ordem \gamma:
x = v_0\cos\theta\;T_0 + \gamma\left(v_0\cos\theta\;T_1 - v_0\cos\theta\;\dfrac{T_0^2}{2}\right) + O(\gamma^2).
Mas já encontramos T_1 = -T_0^2/2, então o coeficiente de \gamma fica
v_0\cos\theta\left(-\dfrac{T_0^2}{2}\right) - v_0\cos\theta\left(\dfrac{T_0^2}{2}\right) = -v_0\cos\theta\;T_0^2.
Logo, até ordem \gamma,
x(\theta,\gamma) = v_0\cos\theta\;T_0 - \gamma\, v_0\cos\theta\;T_0^2 + O(\gamma^2).
  1. Expressão em termos de trigonometria: como v_0\cos\theta\;T_0 = \dfrac{v_0^2}{g}\sin(2\theta) e T_0 = \dfrac{2 v_0\sin\theta}{g}, tem-se
x(\theta,\gamma) = \dfrac{v_0^2}{g}\sin(2\theta) - \gamma \cdot \dfrac{4 v_0^3 \cos\theta \sin^2\theta}{g^2} + O(\gamma^2).
  1. Agora impomos x(\theta,\gamma)=x_0. Chamemos \theta_0 a solução sem arrasto (item (a)), isto é \theta_0 satisfaz
\dfrac{v_0^2}{g}\sin(2\theta_0) = x_0.
Procuramos uma correção da forma \theta=\theta_0+\gamma\theta_1+O(\gamma^2). Expandimos x(\theta,\gamma) em \gamma e \theta:
x(\theta,\gamma) = \dfrac{v_0^2}{g}\left[\sin(2\theta_0) + 2\gamma\theta_1\cos(2\theta_0)\right] - \gamma \cdot \dfrac{4 v_0^3 \cos\theta_0 \sin^2\theta_0}{g^2} + O(\gamma^2).
A condição x(\theta,\gamma)=x_0 cancela o termo zeroth-order \dfrac{v_0^2}{g}\sin(2\theta_0), e ficamos com a equação à ordem \gamma:
\dfrac{v_0^2}{g}\,2\theta_1\cos(2\theta_0) - \dfrac{4 v_0^3 \cos\theta_0 \sin^2\theta_0}{g^2} = 0.
  1. Resolver para \theta_1. Multiplicando por g/v_0^2:
2\theta_1\cos(2\theta_0) - \dfrac{4 v_0 \cos\theta_0 \sin^2\theta_0}{g} = 0.
Assim
\theta_1 = \dfrac{2 v_0 \cos\theta_0 \sin^2\theta_0}{g \cos(2\theta_0)}.
  1. Interpretando a correção completa: lembrando que a expansão que usamos foi \theta = \theta_0 + \gamma \theta_1 + O(\gamma^2), a correção de primeira ordem ao ângulo é
\Delta\theta \equiv \theta - \theta_0 \approx \gamma\,\theta_1 = \gamma \cdot \dfrac{2 v_0 \cos\theta_0 \sin^2\theta_0}{g \cos(2\theta_0)}.
Observações importantes:
  • A fórmula vale quando \cos(2\theta_0)\neq 0. No caso \cos(2\theta_0)=0 (isto é \theta_0=\pi/4, alcance máximo), o denominador some e a expansão na vizinhança desse ponto precisa ser tratada separadamente (a pequena mudança no alcance exige mudança de ordem diferente no ângulo).
  • Há duas soluções \theta_0 sem arrasto (ângulo baixo e ângulo alto); cada uma recebe sua correção \Delta\theta calculada pela mesma expressão, usando o valor correspondente de \theta_0. Note que o sinal de \Delta\theta pode ser positivo ou negativo dependendo do sinal de \cos(2\theta_0): para \theta_0<\pi/4 ( \cos2\theta_0>0) a correção é positiva (é preciso aumentar o ângulo), para \theta_0>\pi/4 ( \cos2\theta_0<0) a correção é negativa (reduz-se o ângulo alto) — isso é compatível com a ideia de que o arrasto diminui o alcance e cada solução deve ser ajustada na direção que compense essa perda.

Resposta

(a) \displaystyle \theta=\dfrac{1}{2}\arcsin\!\left(\dfrac{g x_0}{v_0^2}\right)\quad\text{ou}\quad \displaystyle \theta=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}\arcsin\!\left(\dfrac{g x_0}{v_0^2}\right) (não há solução se \dfrac{g x_0}{v_0^2}>1; se \dfrac{g x_0}{v_0^2}=1 há solução única \theta=\pi/4).\n\n(b) Adotando arrasto linear por unidade de massa \gamma=b/m e sendo \theta_0 a solução sem arrasto (satisfazendo \sin(2\theta_0)=g x_0/v_0^2), a correção de primeira ordem é
\Delta\theta \approx \gamma\,\theta_1 \quad\text{com}\quad \theta_1 = \dfrac{2 v_0 \cos\theta_0 \sin^2\theta_0}{g \cos(2\theta_0)}.

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