Considere o projeto dos sistemas de abatecimento de água e remoção de efluentes em um novo parque industrial composto por 5 prédios independentes. Considere que a demanda S de cada um dos cinco prédios industriais pode ser 10 ou 15 unidades, enquanto a capacidade de remoção dos efluentes R pode ser de 8,10 ou 15 unidades. Após algumas entrevistas com clientes em potencial o projetista estimou que a combinação das necessidades dos dois sistemas pode ocorrer com as seguintes probabilidades no qualquer i-ésimo prédio:
R=15 R=10 R=8
S=10 0,00 0,25 0,15
S=15 0,20 0,35 0,05
Pode ser considerada ainda uma independência estocástica das necessidades de cada um dos prédios.
qual é a probabilidade que a remoção dos efluentes supere 50 unidades ?

Passo 1

Ok, vamos resumir o que está sendo pedido aqui. Temos um novo parque industrial com 5 prédios, e cada prédio tem duas necessidades: o sistema de abastecimento de água (demanda $ S S çã R $). As possíveis demandas são $ S = 10 $ ou $ 15 $ unidades, e as capacidades de remoção de efluentes são $ R = 8 $, $ 10 $ ou $ 15 $ unidades. A tabela fornecida mostra as probabilidades de cada combinação de $ S $ e $ R $ para um prédio. Além disso, as necessidades de cada prédio são independentes umas das outras.
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de que a soma total da remoção de efluentes nos 5 prédios seja maior que 50 unidades. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade conjunta e independência de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos focar apenas na capacidade de remoção de efluentes $ R $, já que é isso que queremos somar. A tabela nos dá a probabilidade conjunta de $ S $ e $ R $, mas como nosso objetivo é apenas com $ R $, podemos calcular a probabilidade marginal de cada valor de $ R $ ignorando $ S $.
Isso significa que vamos somar as probabilidades para cada valor de $ R $ independentemente do valor de $ S $:
R
S
R
Então, para cada prédio, temos:
  • $ P(R=8) = 0,20 $
  • $ P(R=10) = 0,60 $
  • $ P(R=15) = 0,20 $

Passo 3

Agora, como cada prédio é independente, a soma total da remoção de efluentes nos 5 prédios será a soma de 5 variáveis aleatórias independentes, cada uma com as probabilidades que acabamos de calcular.
Queremos encontrar $ P(Total R > 50) $.
Para isso, precisamos calcular todas as combinações possíveis de $ R $ nos 5 prédios que resultam em uma soma maior que 50. Como isso pode ser complexo devido ao número de combinações, podemos usar a seguinte abordagem:
  1. Identificar todos os possíveis valores de $ R $ para um prédio.
  2. Calcular a soma total mínima e máxima possível para os 5 prédios.
  3. Determinar quais combinações de $ R $ resultam em uma soma maior que 50.
  4. Calcular a probabilidade de cada uma dessas combinações e somá-las.

Passo 4

Vamos listar os possíveis valores de $ R $ para cada prédio e entender como eles se combinam. Os valores possíveis de $ R $ são 8, 10 e 15. A soma mínima para 5 prédios é $ 5 \times 8 = 40 $ e a máxima é $ 5 \times 15 = 75 $.
Queremos todas as combinações onde a soma é maior que 50. Vamos identificar quais combinações atendem a esse critério.
Uma maneira eficiente de fazer isso é considerar as quantidades de prédios que possuem $ R = 15 $, $ R = 10 $ e $ R = 8 $, e verificar quais dessas quantidades resultam em uma soma maior que 50.

Passo 5

Vamos usar uma abordagem combinatória para identificar as possíveis distribuições de $ R $ entre os 5 prédios que resultam em uma soma total maior que 50.
Definimos:
  • $ x $: número de prédios com $ R = 15 $
  • $ y $: número de prédios com $ R = 10 $
  • $ z $: número de prédios com $ R = 8 $
Sabemos que:
R
x
Vamos encontrar todas as combinações de $ x, y, z $ que satisfazem essas equações.

Passo 6

Vamos testar diferentes valores para $ x $ (número de prédios com $ R = 15 $):
  1. $ x = 3 $
    x
    Como $ y + z = 2 $, qualquer combinação aqui será válida.
  2. $ x = 2 $
    R = 15
    Com $ y + z = 3 $, precisamos encontrar $ y $ e $ z $ que satisfazem $ 10y + 8z > 20 $.
  3. $ x = 1 $
    x = 3
    Com $ y + z = 4 $, verificar se há soluções.
  4. $ x = 0 $
    15 times 3 + 10y + 8z > 50 Rightarrow 45 + 10y + 8z > 50 Rightarrow 10y + 8z > 5
    Com $ y + z = 5 $, verificar se há soluções.
Vamos analisar cada caso.

Passo 7

Caso 1: $ x = 3 $
  • $ y + z = 2 $
  • Todas as combinações de $ y $ e $ z $ irão satisfazer $ 10y + 8z > 5 $.
  • As possíveis distribuições são:
    • $ y = 0, z = 2 $
    • $ y = 1, z = 1 $
    • $ y = 2, z = 0 $
Caso 2: $ x = 2 $
  • $ y + z = 3 $
  • Precisamos que $ 10y + 8z > 20 $
  • Testando:
    • $ y = 0, z = 3 \Rightarrow 0 + 24 = 24 > 20 $ ✔️
    • $ y = 1, z = 2 \Rightarrow 10 + 16 = 26 > 20 $ ✔️
    • $ y = 2, z = 1 \Rightarrow 20 + 8 = 28 > 20 $ ✔️
    • $ y = 3, z = 0 \Rightarrow 30 + 0 = 30 > 20 $ ✔️
Caso 3: $ x = 1 $
  • $ y + z = 4 $
  • Precisamos que $ 10y + 8z > 35 $
  • Testando:
    • $ y = 0, z = 4 \Rightarrow 0 + 32 = 32 $ ❌
    • $ y = 1, z = 3 \Rightarrow 10 + 24 = 34 $ ❌
    • $ y = 2, z = 2 \Rightarrow 20 + 16 = 36 > 35 $ ✔️
    • $ y = 3, z = 1 \Rightarrow 30 + 8 = 38 > 35 $ ✔️
    • $ y = 4, z = 0 \Rightarrow 40 + 0 = 40 > 35 $ ✔️
Caso 4: $ x = 0 $
  • $ y + z = 5 $
  • Precisamos que $ 10y + 8z > 50 $
  • Testando:
    • $ y = 3, z = 2 \Rightarrow 30 + 16 = 46 $ ❌
    • $ y = 4, z = 1 \Rightarrow 40 + 8 = 48 $ ❌
    • $ y = 5, z = 0 \Rightarrow 50 + 0 = 50 $ ❌
Portanto, o único caso possível quando $ x = 0 $ é que a soma não exceda 50.

Passo 8

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas combinações que resultam em $ Total R > 50 $.
Primeiro, recordemos as probabilidades individuais:
  • $ P(R=15) = 0,20 $
  • $ P(R=10) = 0,60 $
  • $ P(R=8) = 0,20 $
Como os prédios são independentes, a probabilidade de uma combinação específica é o produto das probabilidades individuais.
Vamos calcular para cada caso válido:
Caso 1: $ x = 3 $
  • $ y + z = 2 $
    1. $ y = 0, z = 2 $: $ P = (0,20)^3 \times (0,20)^2 = 0,20^5 = 0,00032 $
    2. $ y = 1, z = 1 $: $ P = \binom{5}{3,1,1} \times (0,20)^3 \times (0,60)^1 \times (0,20)^1 $
      • Número de combinações: $ \frac{5!}{3!1!1!} = 20 $
      • $ P = 20 \times 0,008 \times 0,60 \times 0,20 = 20 \times 0,00096 = 0,0192 $
    3. $ y = 2, z = 0 $: $ P = \binom{5}{3,2,0} \times (0,20)^3 \times (0,60)^2 \times (0,20)^0 $
      • Número de combinações: $ \frac{5!}{3!2!0!} = 10 $
      • $ P = 10 \times 0,008 \times 0,36 = 10 \times 0,00288 = 0,0288 $
Total Caso 1: $ 0,00032 + 0,0192 + 0,0288 = 0,04832 $
Caso 2: $ x = 2 $
  • $ y + z = 3 $
    1. $ y = 0, z = 3 $: $ P = \binom{5}{2,0,3} \times (0,20)^2 \times (0,60)^0 \times (0,20)^3 $
      • Número de combinações: $ \frac{5!}{2!0!3!} = 10 $
      • $ P = 10 \times 0,04 \times 1 \times 0,008 = 10 \times 0,00032 = 0,0032 $
    2. $ y = 1, z = 2 $: $ P = \binom{5}{2,1,2} \times (0,20)^2 \times (0,60)^1 \times (0,20)^2 $
      • Número de combinações: $ \frac{5!}{2!1!2!} = 30 $
      • $ P = 30 \times 0,04 \times 0,60 \times 0,04 = 30 \times 0,00096 = 0,0288 $
    3. $ y = 2, z = 1 $: $ P = \binom{5}{2,2,1} \times (0,20)^2 \times (0,60)^2 \times (0,20)^1 $
      • Número de combinações: $ \frac{5!}{2!2!1!} = 30 $
      • $ P = 30 \times 0,04 \times 0,36 \times 0,20 = 30 \times 0,00288 = 0,0864 $
    4. $ y = 3, z = 0 $: $ P = \binom{5}{2,3,0} \times (0,20)^2 \times (0,60)^3 \times (0,20)^0 $
      • Número de combinações: $ \frac{5!}{2!3!0!} = 10 $
      • $ P = 10 \times 0,04 \times 0,216 = 10 \times 0,00864 = 0,0864 $
Total Caso 2: $ 0,0032 + 0,0288 + 0,0864 + 0,0864 = 0,2048 $
Caso 3: $ x = 1 $
  • $ y + z = 4 $
    1. $ y = 2, z = 2 $: $ P = \binom{5}{1,2,2} \times (0,20)^1 \times (0,60)^2 \times (0,20)^2 $
      • Número de combinações: $ \frac{5!}{1!2!2!} = 30 $
      • $ P = 30 \times 0,20 \times 0,36 \times 0,04 = 30 \times 0,00288 = 0,0864 $
    2. $ y = 3, z = 1 $: $ P = \binom{5}{1,3,1} \times (0,20)^1 \times (0,60)^3 \times (0,20)^1 $
      • Número de combinações: $ \frac{5!}{1!3!1!} = 20 $
      • $ P = 20 \times 0,20 \times 0,216 \times 0,20 = 20 \times 0,00864 = 0,1728 $
    3. $ y = 4, z = 0 $: $ P = \binom{5}{1,4,0} \times (0,20)^1 \times (0,60)^4 \times (0,20)^0 $
      • Número de combinações: $ \frac{5!}{1!4!0!} = 5 $
      • $ P = 5 \times 0,20 \times 0,1296 = 5 \times 0,02592 = 0,1296 $
Total Caso 3: $ 0,0864 + 0,1728 + 0,1296 = 0,3888 $

Passo 9

Agora, somamos as probabilidades de todos os casos que resultam em uma soma total de remoção de efluentes maior que 50:
P(Total R > 50) = Total Caso 1 + Total Caso 2 + Total Caso 3 = 0,04832 + 0,2048 + 0,3888 = 0,64192

Resposta

A probabilidade de que a remoção total de efluentes nos 5 prédios supere 50 unidades é aproximadamente 64,19%.

Exercícios relacionados