Duas bombas operam em paralelo para fornecer água para uma cidade localizada em uma área de lazer. As demandas de água variam significativamente ao longo da semana e sazonalmente (ao longo do ano). Cada unidade tem uma capacidade que permite fornecer a demanda em 80 % do tempo no caso de falha da outra unidade. A probabilidade de falha de cada unidade é de 10 % enquanto a probabilidade de falha conjunta é de 3%. Qual é a probabilidade que a demanda da cidade seja atendida ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema sobre as bombas de água! A gente tem duas bombas funcionando em paralelo para abastecer uma cidade. A demanda de água varia bastante, e cada bomba tem uma chance de falhar. A matéria envolvida aqui é Probabilidade, especificamente sobre eventos simultâneos e independentes. Para resolver, vamos precisar entender as probabilidades de falha de cada bomba e como elas interagem para garantir que a demanda da cidade seja atendida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades dadas:
  • Probabilidade de falha de cada bomba individualmente: 10% ou 0,10.
  • Probabilidade de falha conjunta das duas bombas: 3% ou 0,03.
  • Capacidade de uma bomba em atender à demanda quando a outra falha: 80% ou 0,80.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de ambas as bombas estarem funcionando. Isso significa que nem a bomba A nem a B falharam. Podemos usar a fórmula da união de eventos:
P(Ambas funcionam) = 1 - P(Falha A) - P(Falha B) + P(Falha A e B)
Substituindo os valores:
P(Ambas funcionam) = 1 - 0,10 - 0,10 + 0,03 = 0,83 ou 83%

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de exatamente uma bomba falhar. Isso pode acontecer de duas formas: a bomba A falha e a B funciona, ou a bomba B falha e a A funciona.
Primeiro, a probabilidade de apenas a bomba A falhar:
P(Falha A e B funciona) = P(Falha A) - P(Falha A e B) = 0,10 - 0,03 = 0,07 ou 7%
Da mesma forma, a probabilidade de apenas a bomba B falhar:
P(Falha B e A funciona) = P(Falha B) - P(Falha A e B) = 0,10 - 0,03 = 0,07 ou 7%
Somando as duas possibilidades:
P(Exatamente uma falha) = 0,07 + 0,07 = 0,14 ou 14%

Passo 5

Quando exatamente uma bomba falha, a outra está funcionando, mas só consegue atender à demanda 80% do tempo. Então, a probabilidade de atender à demanda nesse cenário é:
P(Atende | Exatamente uma falha) = 0,80
Multiplicando pela probabilidade de exatamente uma falha:
0,14 times 0,80 = 0,112 ou 11,2%

Passo 6

Finalmente, somamos as probabilidades dos dois cenários onde a demanda é atendida:
  1. Ambas as bombas funcionam: 83%
  2. Exatamente uma falha e a outra atende 80% das vezes: 11,2%
P(Demanda atendida) = 0,83 + 0,112 = 0,942 ou 94,2%

Resposta

A probabilidade de que a demanda da cidade seja atendida é de aproximadamente 94,2%.

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