Duas bombas operam em paralelo para fornecer água para uma cidade localizada em uma área de lazer. As demandas de água variam significativamente ao longo da semana e sazonalmente (ao longo do ano). Cada unidade tem uma capacidade que permite fornecer a demanda em
do tempo no caso de falha da outra unidade. A probabilidade de falha de cada unidade é de
enquanto a probabilidade de falha conjunta é de 3%. Qual é a probabilidade que a demanda da cidade seja atendida ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema sobre as bombas de água! A gente tem duas bombas funcionando em paralelo para abastecer uma cidade. A demanda de água varia bastante, e cada bomba tem uma chance de falhar. A matéria envolvida aqui é Probabilidade, especificamente sobre eventos simultâneos e independentes. Para resolver, vamos precisar entender as probabilidades de falha de cada bomba e como elas interagem para garantir que a demanda da cidade seja atendida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as probabilidades dadas:
- Probabilidade de falha de cada bomba individualmente: 10% ou 0,10.
- Probabilidade de falha conjunta das duas bombas: 3% ou 0,03.
- Capacidade de uma bomba em atender à demanda quando a outra falha: 80% ou 0,80.
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de ambas as bombas estarem funcionando. Isso significa que nem a bomba A nem a B falharam. Podemos usar a fórmula da união de eventos:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de exatamente uma bomba falhar. Isso pode acontecer de duas formas: a bomba A falha e a B funciona, ou a bomba B falha e a A funciona.
Primeiro, a probabilidade de apenas a bomba A falhar:
Da mesma forma, a probabilidade de apenas a bomba B falhar:
Somando as duas possibilidades:
Passo 5
Quando exatamente uma bomba falha, a outra está funcionando, mas só consegue atender à demanda 80% do tempo. Então, a probabilidade de atender à demanda nesse cenário é:
Multiplicando pela probabilidade de exatamente uma falha:
Passo 6
Finalmente, somamos as probabilidades dos dois cenários onde a demanda é atendida:
- Ambas as bombas funcionam: 83%
- Exatamente uma falha e a outra atende 80% das vezes: 11,2%
Resposta
A probabilidade de que a demanda da cidade seja atendida é de aproximadamente 94,2%.