Seja K=\mathbb{Z}_{2}. O conjunto \{(\overline{1}, \overline{1}, \overline{0}),(\overline{1}, \overline{0}, \overline{1}),(\overline{0}, \overline{1}, \overline{1})\} \subset K^{3} é linearmente independente? E se K=\mathbb{Z}_{3} ?
com \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\in K diferente da solução trivial \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=\overline{0}? Se sim, os vetores são linearmente dependentes; se não, são linearmente independentes.
Passo 2
Lembra rápido: a estratégia é escrever a combinação linear igual ao vetor zero e resolver as equações coordenada a coordenada no corpo K. Os coeficientes \alpha_{i} devem pertencer ao respectivo corpo (\mathbb{Z}_{2} ou \mathbb{Z}_{3}). Vou fazer isso separadamente para cada campo.
Das duas primeiras equações segue \alpha_{2}=\alpha_{1}\] e \(\alpha_{3}=\alpha_{1}, portanto \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}. Substituindo em qualquer equação não se obtém restrição adicional porque em \mathbb{Z}_{2} vale \overline{2}\alpha_{1}=\overline{0} para qualquer \alpha_{1}. Assim as soluções são
Em particular existe uma combinação não-trivial: \overline{1}v_{1}+\overline{1}v_{2}+\overline{1}v_{3}=v_{1}+v_{2}+v_{3}=(\overline{0},\overline{0},\overline{0}). Vamos mostrar o cálculo:
(usando aritmética módulo 2). Portanto os vetores são linearmente dependentes em \mathbb{Z}_{2}^{3}.
Comentário didático curto: aqui a característica 2 do corpo faz com que 2\alpha=\overline{0} para todo \alpha, permitindo que \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=\overline{1} seja solução não-trivial.]
Da primeira equação segue \alpha_{2}=-\alpha_{1}\]. Da segunda segue \(\alpha_{3}=-\alpha_{1}. Assim \alpha_{2}=\alpha_{3}=-\alpha_{1}. Substituindo na terceira equação:
Em \mathbb{Z}_{3} temos -2=\overline{1} ou, mais diretamente, multiplicando ambos os lados por \overline{2} (inverso de \overline{2} em \mathbb{Z}_{3} é \overline{2}), obtemos
Logo \alpha_{1}=\overline{0} e daí \alpha_{2}=\alpha_{3}=\overline{0}. A única solução é a trivial, portanto os vetores são linearmente independentes em \mathbb{Z}_{3}^{3}.
Comentário didático curto: aqui \overline{2} não é zero em \mathbb{Z}_{3}, portanto a condição -2\alpha_{1}=\overline{0} força \alpha_{1}=\overline{0}, eliminando a possibilidade de combinação não-trivial como ocorreu em \mathbb{Z}_{2}.]