Seja K=\mathbb{Z}_{2}. O conjunto \{(\overline{1}, \overline{1}, \overline{0}),(\overline{1}, \overline{0}, \overline{1}),(\overline{0}, \overline{1}, \overline{1})\} \subset K^{3} é linearmente independente? E se K=\mathbb{Z}_{3} ?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores
v_{1}=(\overline{1},\overline{1},\overline{0}),\qquad v_{2}=(\overline{1},\overline{0},\overline{1}),\qquad v_{3}=(\overline{0},\overline{1},\overline{1})
em K^{3} e pede para verificar se esses vetores são linearmente independentes nos dois casos:
  • K=\mathbb{Z}_{2};
  • K=\mathbb{Z}_{3}.
O que preciso responder para cada caso: existe uma combinação linear não-trivial
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=(\overline{0},\overline{0},\overline{0})
com \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\in K diferente da solução trivial \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=\overline{0}? Se sim, os vetores são linearmente dependentes; se não, são linearmente independentes.

Passo 2

Lembra rápido: a estratégia é escrever a combinação linear igual ao vetor zero e resolver as equações coordenada a coordenada no corpo K. Os coeficientes \alpha_{i} devem pertencer ao respectivo corpo ( \mathbb{Z}_{2} ou \mathbb{Z}_{3}). Vou fazer isso separadamente para cada campo.

Passo 3

Caso [K=\mathbb{Z}_{2}).
Coeficientes possíveis: \alpha_{i}\in\{\overline{0},\overline{1}\}.
Escrevendo a combinação
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=(\overline{0},\overline{0},\overline{0})
coordenada a coordenada obtemos o sistema em \mathbb{Z}_{2}:
\begin{cases} \alpha_{1}+\alpha_{2}=\overline{0},\\[4pt] \alpha_{1}+\alpha_{3}=\overline{0},\\[4pt] \alpha_{2}+\alpha_{3}=\overline{0}. \end{cases}
Das duas primeiras equações segue \alpha_{2}=\alpha_{1}\] e \(\alpha_{3}=\alpha_{1}, portanto \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}. Substituindo em qualquer equação não se obtém restrição adicional porque em \mathbb{Z}_{2} vale \overline{2}\alpha_{1}=\overline{0} para qualquer \alpha_{1}. Assim as soluções são
(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})=(\overline{0},\overline{0},\overline{0}) \quad\text{e}\quad (\overline{1},\overline{1},\overline{1}).
Em particular existe uma combinação não-trivial: \overline{1}v_{1}+\overline{1}v_{2}+\overline{1}v_{3}=v_{1}+v_{2}+v_{3}=(\overline{0},\overline{0},\overline{0}). Vamos mostrar o cálculo:
v_{1}+v_{2}+v_{3}= (\overline{1}+\overline{1}+\overline{0},\; \overline{1}+\overline{0}+\overline{1},\; \overline{0}+\overline{1}+\overline{1}) =(\overline{0},\overline{0},\overline{0})
(usando aritmética módulo 2). Portanto os vetores são linearmente dependentes em \mathbb{Z}_{2}^{3}.
Comentário didático curto: aqui a característica 2 do corpo faz com que 2\alpha=\overline{0} para todo \alpha, permitindo que \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=\overline{1} seja solução não-trivial.]

Passo 4

Caso [K=\mathbb{Z}_{3}).
Coeficientes possíveis: \alpha_{i}\in\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}.
Escrevendo a mesma combinação e as equações coordenada a coordenada obtemos o sistema em \mathbb{Z}_{3}:
\begin{cases} \alpha_{1}+\alpha_{2}=\overline{0},\\[4pt] \alpha_{1}+\alpha_{3}=\overline{0},\\[4pt] \alpha_{2}+\alpha_{3}=\overline{0}. \end{cases}
Da primeira equação segue \alpha_{2}=-\alpha_{1}\]. Da segunda segue \(\alpha_{3}=-\alpha_{1}. Assim \alpha_{2}=\alpha_{3}=-\alpha_{1}. Substituindo na terceira equação:
\alpha_{2}+\alpha_{3}=(-\alpha_{1})+(-\alpha_{1})=-2\alpha_{1}=\overline{0}.
Em \mathbb{Z}_{3} temos -2=\overline{1} ou, mais diretamente, multiplicando ambos os lados por \overline{2} (inverso de \overline{2} em \mathbb{Z}_{3} é \overline{2}), obtemos
\overline{2}\cdot(-2\alpha_{1})=\overline{2}\cdot\overline{0}\quad\Rightarrow\quad \alpha_{1}=\overline{0}.
Logo \alpha_{1}=\overline{0} e daí \alpha_{2}=\alpha_{3}=\overline{0}. A única solução é a trivial, portanto os vetores são linearmente independentes em \mathbb{Z}_{3}^{3}.
Comentário didático curto: aqui \overline{2} não é zero em \mathbb{Z}_{3}, portanto a condição -2\alpha_{1}=\overline{0} força \alpha_{1}=\overline{0}, eliminando a possibilidade de combinação não-trivial como ocorreu em \mathbb{Z}_{2}.]

Resposta

Para K=\mathbb{Z}_{2}: linearmente dependentes.
Para K=\mathbb{Z}_{3}: linearmente independentes.

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