A distribuição do número de imperfeições por dez metros de um tecido sintético é dada por
k 0 1 2 3 4
p(k) 0,5 0,25 0,20 0,04 0,01
© Determine a variância Var[X] d e X.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma tabela que mostra a distribuição das probabilidades das imperfeições em dez metros de um tecido sintético. A variável aleatória X representa o número de imperfeições, e queremos encontrar a variância de X, ou seja, Var[X]. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados a distribuição de probabilidades e variância.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a média (ou valor esperado) de X, que é uma medida que nos dá uma ideia do valor médio das imperfeições. A média é calculada multiplicando cada valor de X pela sua probabilidade correspondente e somando todos esses produtos. A fórmula é:
E[X] = sumk=0^4 k cdot p(k)
Vamos calcular:
E[X] = 0 cdot 0,5 + 1 cdot 0,25 + 2 cdot 0,20 + 3 cdot 0,04 + 4 cdot 0,01
E[X] = 0 + 0,25 + 0,40 + 0,12 + 0,04 = 0,81
Então, a média de X é 0,81 imperfeições.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado de X^2, que nos ajudará a encontrar a variância. Isso é feito multiplicando cada valor de X ao quadrado pela sua probabilidade correspondente e somando todos esses produtos. A fórmula é:
E[X^2] = sumk=0^4 k^2 cdot p(k)
Vamos calcular:
E[X^2] = 0^2 cdot 0,5 + 1^2 cdot 0,25 + 2^2 cdot 0,20 + 3^2 cdot 0,04 + 4^2 cdot 0,01
E[X^2] = 0 + 0,25 + 0,80 + 0,36 + 0,16 = 1,57
Então, o valor esperado de X^2 é 1,57.

Passo 4

Com os valores de E[X] e E[X^2] em mãos, podemos calcular a variância de X. A variância mede a dispersão dos valores em relação à média, ou seja, quão “espalhados” estão os valores de X. A fórmula para a variância é:
Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2
Substituindo os valores que calculamos:
Var[X] = 1,57 - (0,81)^2 = 1,57 - 0,6561 = 0,9139

Resposta

A variância de X é aproximadamente 0,914 imperfeições.

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