Considere uma urna com N bolas numeradas de 1 a N, N >= 1. Uma bola é sorteada ao acaso desta urna. Seja X o número da bola selecionada.
(b) Calcule a E[X];

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma urna com $ N $ bolas, numeradas de 1 a $ N $. Quando a gente tira uma bola de forma aleatória, a variável aleatória $ X $ representa o número da bola que saiu. O que a gente precisa calcular aqui é o valor esperado de $ X $, ou seja, $ E[X] $. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e média.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o valor esperado. O valor esperado $ E[X] $ é basicamente a média ponderada de todos os possíveis valores que $ X $ pode assumir, multiplicados pelas suas respectivas probabilidades. Nesse caso, como todas as bolas têm a mesma chance de serem sorteadas, a probabilidade de cada bola sair é igual.

Passo 3

Como temos $ N $ bolas, a probabilidade de cada bola ser sorteada é $ \frac{1}{N} $. Então, podemos escrever o valor esperado $ E[X] $ como:
N
Onde $ k $ vai de 1 até $ N $ e $ P(X = k) = \frac{1}{N} $.

Passo 4

Substituindo a probabilidade na expressão, fica:
E[X] = sumk=1^N k cdot 1N = 1N sumk=1^N k
Agora, precisamos calcular a soma dos números de 1 até $ N $.

Passo 5

A soma dos primeiros $ N $ números naturais é dada pela fórmula:
N
Então, substituindo na nossa expressão do $ E[X] $:
sumk=1^N k = N(N+1)2

Resposta

Portanto, o valor esperado de $ X $ é:
X

Exercícios relacionados