Considere uma urna com
bolas numeradas de 1 a
. Uma bola é sorteada ao acaso desta urna. Seja
o número da bola selecionada.
(b) Calcule a
;
(b) Calcule a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma urna com $ N $ bolas, numeradas de 1 a $ N $. Quando a gente tira uma bola de forma aleatória, a variável aleatória $ X $ representa o número da bola que saiu. O que a gente precisa calcular aqui é o valor esperado de $ X $, ou seja, $ E[X] $. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e média.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o valor esperado. O valor esperado $ E[X] $ é basicamente a média ponderada de todos os possíveis valores que $ X $ pode assumir, multiplicados pelas suas respectivas probabilidades. Nesse caso, como todas as bolas têm a mesma chance de serem sorteadas, a probabilidade de cada bola sair é igual.
Passo 3
Como temos $ N $ bolas, a probabilidade de cada bola ser sorteada é $ \frac{1}{N} $. Então, podemos escrever o valor esperado $ E[X] $ como:
Onde $ k $ vai de 1 até $ N $ e $ P(X = k) = \frac{1}{N} $.
Passo 4
Substituindo a probabilidade na expressão, fica:
Agora, precisamos calcular a soma dos números de 1 até $ N $.
Passo 5
A soma dos primeiros $ N $ números naturais é dada pela fórmula:
Então, substituindo na nossa expressão do $ E[X] $:
Resposta
Portanto, o valor esperado de $ X $ é: