Exercício 9. Considere a função dada por
A função
é diferenciável em
? É contínua em
?
Passo 1
O enunciado traz a função
e pergunta se
é contínua e diferenciável em
. Para isso precisamos calcular os limites laterais, comparar com
e, em seguida, verificar as derivadas laterais.
Passo 2
Calculamos os limites laterais e o valor em
:
e pelo trecho
temos
Como
, a função não satisfaz a condição de continuidade em
. Logo,
não é contínua em
.
Passo 3
Para diferenciabilidade, analisamos as derivadas laterais.
Se ,
Se
logo
.
Se ,
Se
logo
.
Apesar de as derivadas laterais coincidirem em , a diferenciabilidade exige continuidade. Como
não é contínua em
, concluímos que
também não é diferenciável em
.
Apesar de as derivadas laterais coincidirem em
Resposta
A função
não é contínua em
e, consequentemente, não é diferenciável em
.