Exercício 9. Considere a função dada por
f(x)= -x2 & se x<1 1raizx & se x >= 1
A função f é diferenciável em x0=1 ? É contínua em x0=1 ?

Passo 1

O enunciado traz a função
f(x)= -tfracx2,&x<1, tfrac1raizx,&x>=1,
e pergunta se f é contínua e diferenciável em x0=1. Para isso precisamos calcular os limites laterais, comparar com f(1) e, em seguida, verificar as derivadas laterais.

Passo 2

Calculamos os limites laterais e o valor em x=1:
limxto1^-f(x) =limxto1^-l(-tfracx2r) =-tfrac12,
limxto1^+f(x) =limxto1^+l(tfrac1raizxr) =tfrac1raiz1 =1,
e pelo trecho x>=1 temos
f(1)=tfrac1raiz1=1
Como limxto1^-f(x)=-tfrac12neq f(1)=1, a função não satisfaz a condição de continuidade em x=1. Logo, f não é contínua em x0=1.

Passo 3

Para diferenciabilidade, analisamos as derivadas laterais.
Se x<1,
f(x)=-tfracx2 Longrightarrow f'(x)=-tfrac12,
logo
f'-(1)=-tfrac12.
Se x>1,
f(x)=x^-1/2 Longrightarrow f'(x)=-tfrac12,x^-3/2,
logo
f'+(1)=-tfrac12.
Apesar de as derivadas laterais coincidirem em -tfrac12, a diferenciabilidade exige continuidade. Como f não é contínua em x=1, concluímos que f também não é diferenciável em x0=1.

Resposta

A função f não é contínua em x0=1 e, consequentemente, não é diferenciável em x0=1.

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